的数字频率跨度是归一化角频率，以每个样本的弧度为单位。例如，如果我们的频率音调为弧度/样本，那么完成 1 个周期需要 10 个样本。因此，如果我们对正弦波进行采样，结果在正弦波的一个周期中有 10 个样本，则在这种情况下归一化的弧度频率为。$2\pi$$0.2\pi$$0.2 \pi$

考虑一个表示为的模拟信号：

$x(t) = \cos(\Omega t)$

其中表示模拟角频率，其中是以 Hz 为单位的频率。$\Omega$$\Omega = 2\pi F$$F$

当我们以采样率对该信号进行采样时，采样间隔为。$F_s$$T_s= \frac{1}{F_s}$

因此离散时间信号给出为

$x(nT_s) = \cos(\Omega n T_s) = \cos (\frac{\Omega}{F_s}n)$

这可以描述为

$x(n) = \cos(\omega n)$

其中是“归一化频率”$\omega$$\omega = \frac{\Omega}{F_s}= 2\pi \frac{F}{F_s}$

类似地，我们可以用每个样本的周期数来描述数字频率跨度，在这种情况下，唯一的跨度将从 0 扩展到 1，或者如果我们更喜欢 -0.5 到 0.5。（与具有从 0 到或到的唯一跨度的每个样本的弧度相比。$2\pi$$-\pi$$\pi$

这是我拥有的一个真实示例，希望可以使这一点更清楚：

下图是一个不同的示例，将数字频谱显示为从正无穷或负无穷延伸的“展开视图”。这演示了在以 10 Hz 采样时存在的频谱密度从 -3 到 +3 Hz 的任意频谱可能存在的混叠。这就是上面提到的“唯一跨度”的含义；频谱中唯一的部分（除此之外的一切都只是复制）。

正如@Fat32 将证明的那样，我发现将单个频率可视化为复音 (更容易，特别是在 IQ 平面上旋转相量，而不是像 . （我们通过欧拉的恒等式看到由两个旋转相量组成）。单音弧度的速率逆时针旋转的相量。将这种情况视为下图中的采样系统，看看归一化频率的想法是多么有用和直接！$e^{j\omega t})$$\cos(\omega t)$$e^{j\omega t}$$\omega$

下面我们有一个由表示的 3 Hz 模拟信号，不同的采样率导致不同的归一化频率。$e^{j2\pi f t} =e^{j6\pi t}$

哇哦！！！这里发生了什么？？？现在我们看到混叠，因为它确实应该显示为从正频率到负频率（而不是“折叠”回来），但这是另一个话题！

您的观察涉及在自然连续频域中观察到的信号（时间上连续的或离散的）。我的回答是：离散的不限于$[0,2\pi]$，它们在别处定义。但是通过定期采样，它们的光谱变成周期性的，因此定义它们就足够了$[0,2\pi[$只要。