你好，这是我写的。它可能比它需要的更复杂/低效。:D

实用的贝塞尔滤波器设计涉及多项式求根以生成二阶部分；我不相信有任何简单的公式。SciPy 存储滤波器系数的方式是极点和零点位置，因此代码以数字方式查找这些位置。

我最初使用的步骤是：

1. 生成反向贝塞尔多项式的系数
2. 使用Aberth-Ehrlich 方法找到多项式的根（= Bessel 滤波器的极点）
3. 向内或向外缩放极点以标准化 -3 dB 频率、相位或群延迟。

第 2 步从Campos-Calderón 2011生成近似根作为寻根的起点，但我不知道这是否真的有必要。大多数寻根算法只是在螺旋上使用不对称的起点等，仍然可以很好地找到答案。我以为这样会更快。

Aberth-Ehrlich 非常适合同时快速找到多个单根，通过将它们建模为相互排斥的点电荷，因此多个测试点不会落入同一个孔中。

最终我最终完全消除了第 1 步。对于 Aberth-Ehrlich 的牛顿法部分，它实际上计算的是 ，这是一个完全不同的（编译的）函数，具有相同的根，并且具有一个相对简单的导数。这可能很疯狂，效率也比它可能低，但它确实有效。（实际上来自 AMOS Fortran 库。）$K_{n+\frac 1 2}\left(\frac 1 x \right)$kvezbesk

$\theta_{5}(x)$与：$K_{5.5}\left(\frac 1 x \right)$

然后在第 3 步中，我什至不使用贝塞尔多项式对函数进行归一化，因为我消除了除最后一个系数之外的所有系数的需要，并且只生成该系数会更快。

还有我后来发现的这个算法，它可能会变得更有效：Orchard 1965 - The Roots of the Maximally Flat-Delay Polynomials (Bessel filters)虽然它在高 N 时有一些数值误差，并且没有给出寻找算法旧的新近似根（只是“在方格纸上观察它”）。

但是现在您可以生成具有 3 种不同归一化的 500 阶贝塞尔滤波器，而不仅仅是从表中读取系数（不是您需要...）：

查看 的源代码scipy.signal.bessel，您不走运找到公式：他们不使用公式。

他们只是对过滤器顺序的各种值有一个很大的if\序列：elif

if N == 0:
    p = []
elif N == 1:
    p = [-1]
elif N == 2:
    p = [-.8660254037844386467637229 + .4999999999999999999999996j,
         -.8660254037844386467637229 - .4999999999999999999999996j]
elif N == 3:
    p = [-.9416000265332067855971980,
         -.7456403858480766441810907 - .7113666249728352680992154j,
         -.7456403858480766441810907 + .7113666249728352680992154j]
elif N == 4:

维基百科页面有一些连续域中贝塞尔滤波器的公式： where 要获得离散时间的近似等价物，您需要进行连续到离散的转换。请注意，这不一定会保留连续时间贝塞尔滤波器的良好相位特性。

$$\theta(s) = \sum_{k=0}^n a_k s^k$$ $$a_k = \frac{(2n-k)!}{2^{n-l}k!(n-k)!} \mbox{ for } n = 0,1,\ldots,n.$$