信息处理 - DFT/FFT 中复数乘数的值 - 吾爱随笔录

信息处理 fft

2022-02-22 15:08:40

我正在学习 proakis book digital signal processing using matlab 3rd ed

但我对价值复数乘数 W 的计算有点困惑

附上无花果。我无法理解如何在红色外壳中的这个图中找到/计算 W 的值

我们如何/为什么知道 W 以 4 为底并乘以 1 等于 -j

1个回答

使用欧拉公式可以看出

W_{4} = e^{- j 2 π / 4} = e^{- j π / 2} = \cos (π / 2) - j \sin (π / 2) = - j

$W_4=e^{-j2\pi/4}=e^{-j\pi/2}=\cos(\pi/2)-j\sin(\pi/2)=-j$

和 $j^2=-1$ 应该很容易验证

(- j)^{0} = (- j)^{4} = 1 and (- j)^{2} = (- j)^{6} = - 1

$(-j)^0=(-j)^4=1\quad\text{and}\quad(-j)^2=(-j)^6=-1$

培养一种几何直觉很重要，它可以让你立即看到这些等价性。乘法 $j$ 对应于旋转 $\pi/2$ 在复平面上，并乘以 $-j$ 是一个旋转 $-\pi/2$ . 所以一般来说 $k\in\mathbb{Z}$ 你有

(- j)^{4 k} = 1 (- j)^{4 k + 1} = - j (- j)^{4 k + 2} = - 1 (- j)^{4 k + 3} = j

$(-j)^{4k}=1\\(-j)^{4k+1}=-j\\(-j)^{4k+2}=-1\\(-j)^{4k+3}=j$

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