信息处理 - 白噪声的自相关 - 吾爱随笔录

白噪声的自相关

信息处理噪音自相关

2022-02-14 16:37:15

白噪声的自相关应该在“0”处有一个很强的峰值，而对于所有其他噪声来说绝对为零 $\tau$ 据此。_ 那么为什么此代码的输出是锥形（预期在“0”处出现强峰，而不是在“0”处以外的其他地方平坦）

y = ones(1,1000);
z = awgn(y,1);
[m l] = xcorr(z);
plot(l,m);

2个回答

问题1：

正如学习者所指出的，awgn 将噪声添加到序列 y 中。所以你不是在绘制高斯白噪声的自相关，而是绘制高斯白噪声的自相关加上一个常数。

使用零而不是一；或分析差异 $z - y$ ; 或者因为 $y$ 是一个常数信号，去掉平均值 $z$ .

问题2：

一旦解决了第 1 点，并且由于您的序列长度有限，您将绘制白噪声的自相关乘以方形窗口。因此，您将看到白噪声的自相关由方形窗口的自相关卷积而成。方形窗口的自相关具有三角形形状。

另一种看待它的方式：从 0 开始移动得越远，输入向量中的数据就越少。例如，在序列中：

$-1, 4, 5, 6, -2$

有 4 对样本距离滞后 1，3 对样本距离滞后 2（-1 和 5；4 和 6；5 和 -2），只有两对样本距离滞后 2 3（-1 和 6、4 和 -2）。因此，对于较大的滞后值，不会有太多数据来正确估计自相关函数。

您可以通过向 xcorr 提供“无偏”参数来人为地补偿窗口。

问题3：

请记住，该理论是关于无限长度序列（或对于有限长度序列，关于结果的预期值）。

实数序列的{非周期性}自相关函数

x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1, x_2, \ldots, x_{N-1}$

可以定义为

R_{x} (k) = {\begin{cases} \sum_{i = 0}^{N - 1 - k} x_{i} x_{i + k}, & 0 \leq k \leq N - 1, \\ \sum_{i = 0}^{N - 1 + k} x_{i} x_{i - k}, & 1 - N \leq k < 0, \\ 0, & | k | \geq N . \end{cases}

$R_x(k) = \begin{cases}\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1-k}x_ix_{i+k}, & 0 \leq k \leq N-1,\\ \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1+k}x_ix_{i-k}, & 1-N \leq k < 0,\\ 0, & |k|\geq N.\end{cases}$

应该很明显 $R_x(k)$ 不可能是 $0$ 对全部 $k\neq 0$ 正如 OP 所希望的那样，除了当其中一个 $N$ 数字 $x_0,x_1, x_2, \ldots, x_{N-1}$ 是非零的，也就是说，序列是单位脉冲的可能缩放和/或延迟的副本。最接近理想白噪声的是霍夫曼的脉冲等效序列，这些序列通常是复值的。

另一方面，离散时间白噪声被定义为具有有限方差的独立随机变量序列 $\sigma^2$ . 由于广义平稳离散时间随机过程的自相关函数定义为 $R_X(k) = E[X_iX_{i+k}]$ ，我们有白噪声过程具有由下式给出的自相关函数 $\sigma^2\delta[k]$ 在哪里 $\delta[k]$ 是单位脉冲（又名离散时间脉冲）函数。

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