信息处理 - DFT 和在数字计算机上完美重建方波 - 吾爱随笔录

DFT 和在数字计算机上完美重建方波

信息处理傅里叶变换正方形

2022-02-18 18:12:47

我知道理论上，当从傅立叶系数重建方波时，除非我们有无限数量的方波，否则由于缺乏足够的谐波，所得到的重建将产生吉布斯振铃伪影。

在计算机上，我们可以对方X = fft(x)波进行傅里叶变换x，并在没有伪影的情况下重建它x_rec = ifft(X)，可能会有 1e-17 量级的舍入误差或其他一些东西，但没有可见的振铃。

我对此没有满意的答案？我想这与“方波” x 是连续波的数字化版本和我的傅里叶基向量（复杂的指数当然也离散化，因为我们在计算机中...... ）但仍然......你如何证明数字方波的傅里叶变换的傅里叶重建没有吉布斯振铃伪影？

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Tought experiment proposed by  Dan Szabo
fs=10;%sampling frequency
t=0:(1/fs):1-(1/fs);


s = [1 1 1 1 1 0 0 0 0 0];
sTr = imtranslate(s,[0.5 0])

sTr =

    0.5000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    0.5000         0         0         0         0

3个回答

首先，如果你使用无限多个傅里叶级数系数来重构不连续的周期函数，例如方波，那么吉布斯现象就会消失，这是一种误解。它没有。原因是傅里叶级数一般不会逐点收敛，而是收敛于均值，即

\begin{matrix} (1) & lim_{N \to \infty} \int_{0}^{T} {| x (t) - \sum_{k = - N}^{N} c_{k} e^{j 2 π k t / T} |}^{2} = 0 \end{matrix}

$\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{T}\left|x(t)-\sum_{k=-N}^{N}c_ke^{j2\pi kt/T}\right|^2= 0\tag{1}$

如果是一个周期函数，并且是它的傅立叶系数。 $x(t)$ $T$ $c_k$

对有限数字序列进行离散傅立叶变换 (DFT) 仅对应于矩阵乘法：

\begin{matrix} (2) & y = A x \end{matrix}

$\mathbf{y}=\mathbf{Ax}\tag{2}$

并且只要矩阵是可逆的，您就可以从 } ： $\mathbf{A}$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$

\begin{matrix} (3) & x = A^{- 1} y \end{matrix}

$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{y}\tag{3}$

这与连续周期函数的傅里叶级数无关，与吉布斯现象无关。

您当然可以创建一个离散的方波并对其进行 FFT。但是，结果不会是方波的频谱。由于方波不受频带限制，您将获得大量的混叠。请记住，您在计算机中以数字方式表示的所有内容在时间和频率上都是离散和周期性的。

为了匹配方波的频谱，您必须首先对时域信号进行低通滤波，这肯定会产生很多振铃。

线性代数的原理更容易理解这一点。DFT 是一种无损线性变换。基向量的跨度是完整的向量空间，所以不管你的信号是什么，你总是可以无损地重建它。

回复最后一条评论。

离开范围，每个都是对应于计算输出向量的单个元素的点积。

X [k] = \sum x [n] e^{- i 2 π \frac{n}{N} k}

$X[k] = \sum x[n] e^{-i 2\pi \frac{n}{N} k }$

F (Ω) = \int f (t) e^{- i 2 π t Ω}

$F(\Omega) = \int f(t) e^{-i 2\pi t \Omega }$

在离散情况下，是对应于频率的元素索引。在连续情况下在频域中。它们都是点积，也就是内积。 $k$ $\Omega$

扫过，你就有了一个矩阵乘法。扫过 s，同样，只是连续的。 $k$ $\Omega$

把基向量想象成这样：

g_{Ω} (t) = e^{- i 2 π t Ω}

$g_{\Omega}(t) = e^{-i 2\pi t \Omega }$

然后：

F (Ω) = f \cdot g_{Ω}

$F(\Omega) = f \cdot g_{\Omega}$

我不能说得更清楚了。我也不打算尝试。

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