我认为您在 3 天前发布了类似的问题，关于您的老师声称不是正弦函数。然而，这个函数绝对是正弦的。否则我们怎么能说信号可以分解为正弦曲线（和余弦曲线）的总和？你有很多正交波：，它们都是正弦波。$\sin 2x$$\sin x, \ \sin 2x, \ \sin 3x, \ldots$

唯一进入我脑海的是：

离散时间正弦波只有当其基频 是有理数时才是周期性的$f_0$

对于频率的正弦曲线是周期性的，我们应该有：$f_0$

$$\sin[2\pi f_0 (N+n)+\theta] = \sin[2\pi f_0 n + \theta]$$

当且仅当存在整数时，这种关系才成立，使得：$k$

$$2\pi f_0N=2\pi k$$ 或者，等效地：

$$f_0 = \dfrac{k}{N}$$

为了确定周期性正弦曲线的基频，我们将其频率表达为如上并取消公因数，使得和没有公约数。则正弦曲线的基本周期等于 N。$k$$N$

例如：

• $f_0 = \dfrac{31}{60}$意味着$N=60$
• $f_0 = \dfrac{30}{60}$意味着$N=2$

因此，如果您将离散正弦曲线定义为：

• $\sin[2 f_0 t]$，或

• $\sin[\sqrt{2} f_0 t]$

那么这些在数字域中不再是周期性的。为什么？以下列方式考虑这一点：新时期开始时的每个样本都会略微移动 - 它不是的有理倍数。下面是两个信号的一些图：$\pi$

• $\sin [2 \pi t]$
• $\sin [2 \pi \sqrt{2} t]$

采样频率为，时间上限为$10 \ \mathtt{Hz}$$8 \ \mathtt{s}$

您可以看到第一个正弦曲线是周期性的 - 每 10 个样本（1 秒）您就会得到重复模式。相反，第二个，其中基频不能表示为有理数（无法分解）周期是不一样的 - 因此你的信号没有周期。查看下图以了解 11 个时期的叠加：$\sqrt{2}$