傅里叶级数：

\$ V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ] \$

术语 \$\dfrac{a_0}{2}\$ 是一个常数，即 DC 级别。它也可以写成不除以二，但这是惯例。无限和的项是具有相同频率的加权正弦和加权余弦之和。如果您将这些绘制为复杂 Argand 平面中的相量，您会看到结果再次是正弦，但幅度不同，并且相移。因此方程也可以写成

\$ V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ] \$

所以我们有正弦的总和，基频 \$\omega_0\$ 的所有多个频率，每个频率都有自己的幅度和相位。

傅立叶证明了你可以用这种方式描述每一个重复的函数。有时该级数是无限的，有时它的项数是有限的。有时缺少项，这意味着它们的幅度为零。

最著名的傅里叶级数之一是方波：

\$ V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right] \$

或者，扩展：

\$ V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7 } sin(7 \omega_0 t) + ...\$

所以这是一个缺少项的系列：方波没有偶次谐波。下图显示了它在时域中的样子：

上图显示了前两项的总和，然后添加了第三项，在底部添加了第四项。每个添加的项都会使波形更接近方波，您需要将级数限制为无穷大才能获得完美的方波。

有时很难看到其中的基本正弦。以 3Hz 正弦波和 4Hz 正弦波之和为例。生成的波形将每秒重复一次，即 1Hz。1Hz 是基频，即使它的幅度为零。该系列可以写成

\$ V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)\$

以下所有项也具有零幅度。

每个可实现的模拟信号，任何你能想到的或在电压与时间图上合法绘制的任何东西都可以用数学术语表示为无限数量的不同频率的正弦波的总和——这种形式的东西：

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

通过改变 、 等和 、 等的值来A构造不同B的信号。 Cf1f2

当有人提到傅立叶级数时，他们指的是把波形表示为一系列加法运算，如上。

实际上，每个模拟信号在每个频率都有一些内容——即使幅度是 0.1e-67，它仍然存在。理想情况下，情况并非如此——如果我构造一个纯方波，那么我知道它只包含周期奇数倍的频率。因此，1Hz 方波是 1Hz 正弦波加上 3Hz 正弦波的总和，以此类推。对于其他众所周知的波形，例如三角波和斜坡，人们已经完成了关于存在哪些频率和内容的计算。

傅里叶级数是将周期性波形表示为“谐波”正弦波形的（可能是无限的）总和的一种方法。

它还用于将有界（紧凑）时间间隔上的信号表示为正弦波形的无限和。

本质上，通过建立时域信号（即表示为时间函数的信号）与频域等效信号（即表示为频率函数的信号）之间的关系，傅里叶Series 能够对信号和系统进行谐波分析，这是无线电传输理论、编码理论、控制理论、量子理论和许多其他非常有用的工程领域的基础。

虽然信号的傅里叶级数表达式起初看起来更复杂，涉及复杂的表达式和“无限和”，但作为一种数学工具，它们使工程师能够解决使用封闭式表达式无法解决的问题。

简而言之，有时将空间和/或时间的变化表示为频率和相位的变化是有用的。特别是对于周期性变化。但是，即使变化不是周期性的，只要变化被限制在空间和/或时间的某个间隔内，它也将被限制在频率上的相应间隔（带宽）内。

傅里叶级数的应用有助于理解通信系统的信道带宽、开发图像压缩算法和提高配电系统的可靠性。

为了给上述评论增加一些实用性，可以通过 FFT（快速傅里叶变换）和 DFT（离散傅里叶变换）等算法将傅里叶时域序列分解为其频域分量。能够应用这些算法的一个重要的实际结果是，在研发和实验室测试中，我们经常希望根据本底噪声（例如 SNR 或无杂散动态范围）测量信号的频谱纯度，以了解其纯度或频率，不失真，我们的信号内容是。如果我们有一个时域输出（例如 DA 转换器会处理），我们无法仅通过查看时域响应来确定这些值，因此通常在仿真方面，我们将使用 DFT 模块来转换时域信号进入频谱（频率）域。在实验室，在示波器上，我们需要一些可以查看频谱特性的工具（通常我们使用频谱分析仪）。这些工具的核心取决于傅立叶分析和谱分解方法。所以你有一个实际的理由来解释为什么傅里叶分析在 EE 中很重要。