让我们假设有输入的系统$x$定义为：

$$\begin{equation} y[n] = \begin{cases} x[n] & \text{if} & n<0\\ 2x[n] & \text{if} & n\ge 0 \end{cases} \end{equation}$$

正如@TimWescott 所回答的那样，两部分定义表明缺乏时间不变性。找到一个反例可能是一个好的开始。例如，一个由两部分组成的信号，其乘以 2 时的行为是可见的。确实，Heavide 跳跃的修改很有趣：

$$\begin{equation} x_0[n] = \begin{cases} -1& \text{if} & n<0\\ \phantom{-}1 & \text{if} & n\ge 0 \end{cases} \end{equation}$$ 连同右移版本： $$\begin{equation} x_1[n] = \begin{cases} -1 & \text{if} & n<1\\ \phantom{-}1 & \text{if} & n\ge 1\,. \end{cases} \end{equation}$$

你得到：

$$\begin{equation} y_0[n] = \begin{cases} -1& \text{if} & n<0\\ \phantom{-}2 & \text{if} & n\ge 0 \end{cases} \end{equation}$$ 以及右移版本的输出： $$\begin{equation} y_1[n] = \begin{cases} -1 & \text{if} & n<0\\ -2 & \text{if} & n=0\\ \phantom{-}2 & \text{if} & n\ge 1\,. \end{cases} \end{equation}$$ 它们不是彼此的时移版本。

你的证明在两个地方出错了。第一个可能只是一个错字，你说“$n<0$然后$y[n] = 2u[n]$“。 如果$n < 0$， 然后$y[n] = 0$，而不是相反。

第二个错误是更深层次的错误：

但由于$n$和$n_0$然后随机选择，这个系统可以随时间变化，只要总是$u[n+n_0]=0 \rightarrow u[n] =0$和$y[n] =0$这不作为一个系统。所以它不是时变的。

如果对于 *absolutely 任何选择，则系统是时间不变的$n$和$n_0$，结果是一样的，只是时移了。所以你不能限制$n$和$n_0$——无论何时，系统都必须以相同的方式运行。

为了展示时间不变性，我所要做的就是选择$n$和$n_0$这样要么$n \ge 0$和$n + n_0 < 0$， 或者$n < 0$和$n + n_0 \ge 0$. 就是这样——系统在这两种情况下的行为明显不同。

基本上，在$n = 0$，系统的行为发生了显着变化——它是随时间变化的。