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实值 DTFT

信息处理离散信号傅里叶变换文件因果关系

2022-02-20 01:16:37

现在这是一个简单的问题，但我仍然要求澄清：

我知道一个偶数信号

h [n] = h [- n]

$h[n] = h[-n]$ 产生一个实值 DTFT（我们已经在课堂上证明了这一点）。现在我的问题如下：实值 DTFT 是否也会产生偶数信号？这是否意味着真实 DTFT 的信号总是非因果的？

1个回答

证明很简单。和

\begin{matrix} (1) & x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} X (e^{j ω}) e^{j n ω} d ω \end{matrix}

$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{jn\omega}d\omega\tag{1}$

与 $X(e^{j\omega})=X^*(e^{j\omega})$ （即，一个实值 DTFT）我们得到

\begin{aligned} x [- n] & = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} X (e^{j ω}) e^{- j n ω} d ω \\ = \frac{1}{2 π} {[\int_{- π}^{π} X^{*} (e^{j ω}) e^{j n ω} d ω]}^{*} \\ = \frac{1}{2 π} {[\int_{- π}^{π} X (e^{j ω}) e^{j n ω} d ω]}^{*} \\ = x^{*} [n] \end{aligned}

$\begin{align}x[-n]&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{-jn\omega}d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}X^*(e^{j\omega})e^{jn\omega}d\omega\right]^*\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{jn\omega}d\omega\right]^*\\&=x^*[n]\end{align}$

即，如果 $X(e^{j\omega})$ 是实值，我们得到

x [n] = x^{*} [- n]

$x[n]=x^*[-n]$

（或者 $x[n]=x[-n]$ 如果 $x[n]$ 是实值）。

所以实值 DTFT 确实不能对应于因果序列，除了平凡序列 $x[n]=a\delta[n]$ 和 $a\in\mathbb{R}$ .

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