希尔伯特变换$x(t)$表示为$\hat{x}(t)$具有以下傅里叶变换

$$\begin{equation} \mathcal{F}(\hat{x}) = H(w)X(w) = -j \operatorname{sgn}(w)X(w) \end{equation}$$ 因为 $$\begin{equation} \hat{x}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x(u)}{\pi(t-u)} \ du \end{equation}$$ 请注意 $$\begin{equation} \vert \mathcal{F}(\hat{x}) \vert^2 = \vert -j \operatorname{sgn}(w)X(w) \vert^2 = \vert X(w) \vert^2 \end{equation}$$ IE $$\begin{equation} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \vert \mathcal{F}(\hat{x}) \vert^2 \ dw = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \vert X(w) \vert^2 \ dw \end{equation}$$ 使用 Parsevals 方程，它给你 $$\begin{equation} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \vert \hat{x}(t) \vert^2 \ dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \vert x(t) \vert^2 \ dt \end{equation}$$ PS：对于真实信号，您确实可以删除幅度（绝对值）。