信息处理 - 是是的[ n ] = n x [ n ]y[n]=nx[n]LTI 系统？ - 吾爱随笔录

是是的[ n ] = n x [ n ]y[n]=nx[n]LTI 系统？

信息处理线性系统证明

2022-02-03 03:44:21

我该如何测试 $y[n] = n x[n]$ 是 LTI 系统吗？还有其他系统吗？

例如，怎么来 $y[n] = \left( \frac{1}{2} \right)^n u[n]$ ，在哪里 $u[n]$ 是单位步，是LTI系统吗？

1个回答

在这里，我们不使用一般的证明方法，而是使用称为反例的方法，该方法依赖于一个事实，即违反主张的单个反例足以（足够）证明主张是错误的。

假设系统是 LTI，（声称系统是 LTI）。然后考虑以下输入 $x_1[n] = \delta[n]$ 和 $x_2[n] = \delta[n-1]$ 具有相应的输出 $y_1[n] = 0 \cdot \delta[n] = 0$ 对全部 $n$ 和 $y_2[n] = 1.\delta[n-1]=\delta[n-1]$ .

现在如果系统实际上是 LTI，那么它的输出应该满足 $y_2[n] = y_1[n-1]$ . 然而，人们可以看到情况并非如此，因为

y_{2} [n] = δ [n - 1] \neq y_{1} [n - 1] = 0.

$y_2[n]= \delta[n-1] \neq y_1[n-1] = 0.$ 因此，这个反例证明了该主张是错误的；即，系统不是LTI。事实上，我们实际展示的是系统不是时不变的，但结果是它也不是 LTI。

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