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最小相位系统的定义

信息处理分析信号信号能量稳定因果关系最小相位

2022-02-08 04:06:49

我在不同的教科书中看到了一些最小相位的定义，我试图理解它们各自的含义。我看到的第一个定义是：一个可逆系统，它和它的逆都是因果且（BIBO）稳定的。第二个定义是：一个可逆系统，它和它的逆都是因果的并且具有有限的能量。它是在一本教科书中写的，它有第二个定义作为第一个定义的替代，这些约束允许系统在单位圆上有零点和极点，我不明白为什么（与第一个定义相反）。只是为了确保，我不会将自己限制在理性系统中。我在一些教科书中看到但不理解的另一件事是，第二个定义暗示系统的传递函数和它' s 逆在单位圆的外部是解析的。所以，总而言之，我的问题是：

为什么我们有两个最小相位的定义？
为什么第二个定义意味着系统可以在单位圆上有零点和极点，而不是第一个定义？
为什么第二个定义意味着系统及其逆在单位圆外部具有解析传递函数？

抱歉任何语法错误，感谢任何澄清。

1个回答

关于非最小相位系统（具有有理传递函数）的一件事是，它可以被认为是最小相位系统的串联（或级联），与给定的非最小相位系统具有相同的幅度响应相位滤波器，带全通滤波器。APF 将有一个极点，该极点消除单位圆内的最小相位系统的特定零点，并在单位圆外放入新零点（“反射零点”）。所以新系统总是比最小相位系统有更多的相移。

所以这是最小相位系统的另一个定义：

LTI 系统或过滤器

H (f) = | H (f) | e^{j \arg {H (f)}} = | H (f) | e^{j ϕ (f)}

$H(f) = |H(f)| e^{j \arg\{H(f)\}} = |H(f)| e^{j \phi(f)}$

是最小相位当且仅当以弧度表示的自然相位响应是幅度响应的自然对数的希尔伯特变换的负数：

ϕ (f) ≜ \arg {H (f)} = - H {\ln (| H (f) |)}

$\phi(f) \triangleq \arg\{ H(f) \} = -\mathscr{H}\big\{ \ln( |H(f)| ) \big\}$

自从

\begin{aligned} H (f) & = | H (f) | e^{j ϕ (f)} \\ = e^{\ln (| H (f) |)} e^{j ϕ (f)} \\ = e^{\ln (| H (f) |) + j ϕ (f)} \\ = e^{\ln (H (f))} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) & = |H(f)| e^{j \phi(f)} \\ & = e^{\ln(|H(f)|)} e^{j \phi(f)} \\ & = e^{\ln(|H(f)|) + j \phi(f)} \\ & = e^{\ln(H(f))} \\ \end{align}$

这将频率响应的复自然对数的实部和虚部联系起来。

ℑ {\ln (H (f))} = - H {ℜ {\ln (H (f))}}

$\Im\{ \ln(H(f)) \} = -\mathscr{H}\big\{ \Re\{\ln(H(f)) \} \big\}$

所以要问一个问题，为什么问题中陈述的极点/零定义等同于这个希尔伯特变换定义？

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