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DTFT 的连续光谱如何可能？

信息处理离散信号傅里叶变换文件

2022-02-19 04:11:42

所以我们认为一个复杂的正弦曲线的形式 $e^{j\omega_0n}$ 是周期性的 $N=2\pi/\omega_0$ 只有当 $\omega_0$ 是的有理倍数 $\pi$ ，否则指数不是周期性的。（见编辑！）

然后我们到了 DTFT，特别是合成方程：

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{2 π} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X\left(e^{j\omega}\right)e^{j\omega n}d\omega$

这里 $X\left(e^{j\omega}\right)$ 如果一个连续的函数 $\omega$ ，和 $X\left(e^{j\omega_0}\right)$ 是多少复杂的正弦曲线 $e^{j\omega_0n}$ 有助于 $x[n]$ .

但这让我感到困惑，因为我觉得并非所有正弦曲线都应该能够为 $x[n]$ 因为并非所有复杂的正弦曲线都是周期性的。还是非周期性正弦曲线实际上是 DTFT 的关键？

编辑：我应该澄清一下，在我谈论复杂正弦曲线是周期性的第一点中，我说的是离散的复杂正弦曲线， $x[n] = e^{j\omega_0n}$ 在哪里 $n\in\mathbb{Z}$ . 为了 $x[n]$ 被认为是周期性的，必须有一些 $N\in\mathbb{Z} \mid x[n+N]=x[n]$ . 对于这样一个 $N$ 存在， $\omega_0$ 必须是的有理倍数 $pi$ .

我的困惑来自于综合方程包含的值 $\omega$ 不是的有理倍数 $\pi$ ，因此非周期性离散正弦波有助于合成 $x[n]$ .

2个回答

DTFT 在导致离散非周期性正弦曲线的频率处具有值的原因是因为我们对表示所有可能的离散时间信号感兴趣，包括离散非周期性正弦曲线的（线性组合）。假设我们有一个信号 $x[n] = e^{j \omega_0 n}$ 在哪里 $\omega_0$ 不是的有理倍数 $\pi$ . 你希望这个信号有一个 DTFT 吗？当然。如果我们不允许在所有频率上都存在 DTFT（包括 $\pi$ ）。

换句话说，周期性不是信号 DTFT 存在的必要条件。

$e^{j\omega n}$ 在合成方程中

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{2 π} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

$\displaystyle x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X\left(e^{j\omega}\right)e^{j\omega n}d\omega$ 不是离散的，因为

ω

$\omega$ 是自变量。因此，它是周期性的

[0, 2 π]

$[0, 2\pi]$ 对于任何

n

$n$ . 用欧拉公式扩展它以便更好地理解。

同样适用于分析方程：

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$ 再次，

e^{j ω n}

$e^{j\omega n}$ 是连续的 $\color{red}\omega$ .

您与此混淆的是DTFS：

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} a_{k} e^{- j k ω_{0} n}

$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{-jk\omega_0 n}$ 这里只有

N

$N$ 由以下定义的周期性基数

e^{- j k ω_{0} n}

$e^{-jk\omega_0 n}$ 为了

k = 0, 1, \dots, N - 1

$k=0,1,\cdots,N-1$ ：

e^{j k ω_{0} n} = e^{j (k + N) ω_{0} n}

$e^{jk\omega_0n}=e^{j(k+N)\omega_0n}$

它们是离散的 $\color{red}n$ .

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