让$v(x, k)$是一组正交基函数，使得

$$\int_{-\infty}^{+\infty} v(x,a) v^*(x,b) dx = \delta_{a,b}$$ 在哪里$\delta_{a,b}$s克罗内克三角洲。

我相信您的问题归结为：对于傅立叶变换，我们有

$$v(x,a) = e^{jax}$$ 我们解释$a$作为频率和$x$随着时间的; 这个正交基有什么特别之处吗，因为我们可以解释$a$作为这些功能之间的“距离”？

另一组正交函数（但在有限区间内）的示例是勒让德多项式：

$$v(x,a) = P_a(x), \mbox{where} -1\le x \le +1$$ 现在在哪里$a$是多项式的阶数（次数）。

对于这些（和其他多项式基），“距离”现在是多项式次数的差异。

这是否意味着这些函数比傅里叶基“不那么”特殊是一个见仁见智的问题。

很好的问题，而且是一个非常棘手的问题。我认为您对单词距离的双重使用，以及将无限函数空间中的向量与有限支持序列中的向量进行比较有点令人困惑。

您描述的距离是频率之间的差异$w_1$， 和$w_2$的两个正弦曲线。在时域中很容易理解这种差异，因为这两个信号在频率上是完全局部的（但指定为无限时间）。

执行傅里叶变换后，这些信号将在无限空间中表示，其中任何频率的正弦波都与任何其他频率的正弦波正交。在这一点上，正如您正确描述的那样，正弦曲线形成了一个无限正交（基）集。感觉很奇怪，但在这个空间里，1Hz 和 2Hz 的内积与 1Hz 和 4Hz 的内积是一样的。他们都是零！我认为这是您对距离的另一种解释——短距离是大内积，长距离是小内积。

之所以感觉不对，是因为我们仍然可以直观地把这个无限空间的成分按照递增的顺序排列$w$，因此一个组件仍然可以与另一个组件相距 2Hz。这与傅里叶变换生成的空间中的内积所表示的距离不同。