信息处理 - IIR滤波器的卷积，允许循环卷积的情况？ - 吾爱随笔录

IIR滤波器的卷积，允许循环卷积的情况？

信息处理卷积无限脉冲响应频率响应数学

2022-02-12 05:26:35

问题是，如何获得与 IIR 滤波器卷积的任何信号（有限、非单位长度）的频域表示。

我认为正确的答案是实际上没有答案，这乍一看可能很奇怪。但是，如果我们通过数学运算并使用循环卷积的特性，我们当然仍然会得到答案。

假设我们的信号是长度为 N-1 的简单离散阶跃函数，从 t=0 开始，频域表示为：

F (ω) = e^{j ω \frac{ñ - 1}{2}}

$F(\omega)=\large e^{j \omega\frac {N-1}{2}}$

为了更清楚地说明这一点，假设 IIR 滤波器具有以下形式。 $h(n) = \cos(\omega_0 n)$ ，哪个转换器到频域等于：

H (ω) = {\begin{cases} 1, & ω = ω_{0} \\ 0, & 除此以外 \end{cases}

$H(\omega)= \begin{cases} 1, & \omega = \omega_0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

可以使用公式计算卷积的频率表示

是 (ω) = F (ω) H (ω)

$Y(\omega)=F(\omega) H(\omega)$

在哪里 $Y(\omega)$ 是卷积的频域表示。但是，存在一个问题，对这些函数进行卷积必然会导致时域混叠，因为在边缘附近不可能有零。因此，出现了混叠，因此结果是：

F (ω) G (ω) = {\begin{cases} e^{j ω \frac{ñ - 1}{2}}, & ω = ω_{0} \\ 0, & 除此以外 \end{cases}

$F(\omega) G(\omega)= \begin{cases} \large e^{j \omega\frac {N-1}{2}}, & \omega = \omega_0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

在时域中，结果要么是正弦波，要么是虚无，这取决于正弦波的频率和我们开始时的脉冲宽度。

因此，继续这一思路，LTI 系统中的正弦波由于循环卷积而具有线性响应（因为没有折回，正弦波会失真）。这意味着 LTI 系统属性是一个完全理论上的构造，我们当然已经知道这一点，因为在现实世界中不存在没有结束或开始的无限正弦波。无论哪种方式，我的想法是你不能使用方程对无限信号进行卷积，因为没有多少无穷大会使信号折回自身，就像使用数学一样（诚然，我可能完全错了）。我将尝试求解下一个正弦波是随意的情况的方程......

当然可以获得特定间隔的频率表示（这可以方便地削减对 FIR 的脉冲响应，消除由无穷大引起的有趣的事情）。如果滤波器在无限时间后稳定为零，问题也会消失，这可能满足 IIR 的定义，但对于讨论的目的没有意义。

我对此是否正确，或者在无限时间函数的情况下，让混叠发生会导致卷积函数的正确答案？如果是这样，其背后的理由是什么？

2个回答

回答第一句话中提出的第一个问题：如果 $X(\omega)$ 是输入信号的傅里叶变换，并且 $H(\omega)$ 是 IIR 滤波器的频率响应，输出信号的傅里叶变换（你称之为“频域表示”）很简单 $Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)$ . 如果您使用离散时间傅里叶变换 (DTFT)（而不是 DFT/FFT），这在连续时间和离散时间都有效。

在（离散）时域中，通常有一个无限卷积和：

\begin{matrix} (1) & 是的 [n] = \sum_{ķ = - \infty}^{\infty} X [ķ] H [n - ķ] \end{matrix}

$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]\tag{1}$

在哪里 $x[n]$ 是输入序列，并且 $h[n]$ 是滤波器的脉冲响应。如果要么 $x[n]$ 或者 $h[n]$ （或两者）的长度是有限的，总和 $(1)$ 变成有限和。

如果您设法澄清问题的其余部分，我也许可以在此答案中添加更多相关信息。

如果我猜到什么让你感到困惑，那可能是你从 DFT 的角度来思考，它只能处理有限长度的序列（并且可能导致循环卷积伪影）。但是，您可以在时域中直接实现 IIR 滤波器（准确地说，如果我们暂时忽略量化效应）。在一般情况下，输出信号的 DTFT 只能近似计算。然而，对于馈入 IIR 滤波器的有限长度输入信号，我们可以获得输入信号的 DTFT 以及 IIR 滤波器的频率响应的精确表达式。输出信号的傅里叶变换就是两者的乘积。

根据评论，我建议我们区分理论分析和实际实施。例如：理论使用正弦波的概念。然而，数学意义上的真正正弦波并不存在！为了使其成为理想的正弦波（在频域中具有真正的 delta 函数），它必须具有无限的时间范围。由于宇宙的生命周期是有限的，这是无法实现的。

系统传递函数的数字表示也是如此。它需要频带限制以避免混叠，并且它需要具有有限的脉冲响应长度以避免回绕和/或截断。然而，这些要求是相互排斥的：一个信号不能同时在时间和频率上都是有限的。

理论假设和实际限制之间的所有这些不匹配都会产生错误，这是任何实际实施都不可避免的一部分。但是，您可以控制实现的参数以使误差任意小，诀窍是了解实现的要求并相应地选择参数。

让我们举一个简单的例子来说明它是如何工作的：我想测量房间中扬声器的传递函数，这是一个 LTI 系统。由于它是一个指数能量衰减过程，因此脉冲响应是无限的。而且由于它是无限的，理论上不可能准确地表示它（至少不是数字上的）。

衰减通常由混响时间描述，这是能量衰减 60 dB 的时间。对于一个典型的住宅空间，可能是 0.3 秒。如果我们想以 48 kHz 采样，我们需要 14400 个采样来覆盖脉冲响应中 60 dB 的动态范围。如果您想要 120 dB 的动态范围，则需要 28800 个样本。使用 240,000 个样本，您可以获得 1000 dB 的动态范围。您可以选择任何目标动态范围并计算所需的样本数，只是不能使动态范围“无限”。

在这个特定示例中，您可以查看其他错误来源，并确保您的采样错误不会妨碍您。例如，房间中的典型信噪比约为 40 dB，因此脉冲响应的 60 dB 动态范围就足够了。采样误差将被噪声误差简单地掩盖，增加更多的采样精度不会使测量更好。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇DFT 滤波器组下一篇Leslie 扬声器是如何模拟的？