看看这篇论文。我会发表评论，但代表不够高。

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=1211087&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fiel5%2F81%2F27258%2F01211087

看起来你需要多次输入才能获得 Volterra 系列中的次谐波

摘要指出“次谐波产生是一种复杂的非线性现象，它可能由非线性振荡、分岔和混沌引起。众所周知，单输入单输出沃尔泰拉级数目前不能应用于表现出次谐波的模型系统。一种新的建模本文介绍了替代方案，通过使用本地多输入单输出 Volterra 模型克服了这些限制。然后可以应用广义频率响应函数来解释频域中的次谐波系统。

许多年后，我被要求写一些我在这方面学到的东西。简短的回答是，这取决于“次谐波”一词的含义——如果我们查看双边信号或单边信号，情况会大不相同。所以这是部分答案

在非常严格的意义上，不可能使用任何时不变系统（线性或非线性）生成次谐波。由于 Volterra 级数代表非线性时不变系统，因此它们也不能用于生成次谐波。

证明很简单。假设我们有一个时不变系统$F[x(t)](t)$哪些地图$\sin(t)$到$\sin(t/2)$. 然后因为它是时间不变的，我们有

$$F[\sin(t+2\pi)](t) = F[\sin(t)](t+2\pi)$$

这意味着，如果它映射$\sin(t)$到$\sin(t/2)$，那么我们得到时不变性

$$F[\sin(t+2\pi)](t) = \sin((t + 2\pi)/2) = \sin(t/2 + \pi)$$

但是，我们有$\sin(t+2\pi)$=$sin(t)$首先，所以我们得到

$$F[\sin(t+2\pi)](t) = F[\sin(t)](t) = \sin(t/2)$$

所以我们会有$\sin(t/2) = \sin(t/2 + \pi)$，这是不可能的。所以不，一般来说，你不能用非线性时不变系统获得次谐波。

但是，当然，在“现实世界”中，我们通常不使用双边无限信号，而是使用相同的单边因果信号$0$之前$t=0$，例如我们关心像这样的信号$\sin(t) u(t)$在哪里$u(t)$是 Heaviside 阶跃函数。在这种情况下事情要微妙得多，所以这只是部分答案。

理论上确实存在一个非线性时不变系统，它发送$\sin(t) u(t)$到$\sin(t/2) u(t/2)$- 一个简单的例子是等待第一个非零值，然后以半速播放之后的所有内容。这样的东西很难用沃尔泰拉级数来表示，但它是一个非线性时不变系统的简单例子，可以产生“单边次谐波”。这样的系统甚至对双边信号都没有意义（因为没有第一个非零值），但如果你只关心因果信号，那么这种事情就成为可能。

对于一些不太人为的东西，任何可用的时间/音高拉伸算法，例如相位声码器，似乎都能够生成次谐波（只需将音高调低一个八度音阶而不进行任何时间尺度拉伸）。如果跳跃大小是一个样本（或者如果我们正在查看具有滑动窗口短时傅立叶变换的模拟系统），那么这些事情在技术上也是时间不变的。同样，此类系统通常被认为是单边信号 - 思考相位声码器之类的东西如何甚至与双边无限正弦波之类的东西一起工作是非常有趣的。相位会是什么$t=0$?

所有这一切的关键在于数学有一些微妙之处。对于双边信号，答案很明确，但对于单边信号，有一些有趣的事情正在发生，可以为“单边信号”生成“单边次谐波”。不过，对于解析泛函，我不确定相应的 Volterra 系列会是什么样子。