是否可以按照奈奎斯特频率执行 dft。

当然。每个 DFT 都会这样做。原因如下：应用 DFT 要求信号是时间离散的，这意味着它在频域中是周期性的，采样率就是周期。

假设您的采样率为 40 kHz。那么 1kHz 处的 DFT 值将是相同的 41kHz、81kHz、121kHz、-39kHz、-79kHz 等。单个 DFT 将产生所有频率的值，而不仅仅是低于 Nyquist 的频率。这只是你想看哪个时期的问题。

很容易证明

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}$$

$$X(k+N) = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j2\pi\frac{n\cdot (k+N)}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j2\pi\frac{n\cdot k}{N}} \cdot e^{-j2\pi\frac{n\cdot N}{N}}= X(k)$$

自从

$$e^{-j2\pi\frac{n\cdot N}{N}} = e^{-j2\pi \cdot n} = 1$$

在奈奎斯特，信号走$[1, -1, 1, -1,...]$- 对于任何输入长度，这是最快的离散变化。零填充无济于事：它只会降低可能的最低（非零）频率。

因此，超越奈奎斯特必然意味着增加物理采样率或“信息率”，使得相同的离散变化$[1, -1, ...]$现在代表更高的物理频率。

一种解决方法是“插补”或插值，但这里的 FFT 插值是没有意义的，对于 Nyquist 和 dc bin 来说是唯一的。

注意：我将这个问题理解为在没有混叠的情况下超越了奈奎斯特，即实际上获得了更大的物理频率。除此之外，DFT atNyquist + 1等于 DFT at -(Nyquist - 1)，依此类推—— “DFT 周期性”。（如果输入是实数，频谱的幅度Nyquist + 1等于Nyquist - 1）

在数字化信号中，两个样本之间的最小时间间隔为 1/（采样频率）。因此最大频率分量不能超过采样频率（可以是奈奎斯特速率或大于该频率）

对于真实信号，具有唯一信息的最大频率分量不会超过$\frac{sampling frequency}{2}$ （因为关于奈奎斯特频率的频谱对称）

奈奎斯特速率是最大值的两倍。频率限制信号中的频率分量。

奈奎斯特频率是采样率的一半（可以等于或大于奈奎斯特速率）

如果 OP 的参考在 Nyquist 频率之后显示一个唯一的频谱，对应于$f_s/2$在哪里$f_s$是采样率（也许这是问题的动机？），那么这意味着时域波形是复杂的，因为在这种情况下，跨越采样率宽度（在任何频率间隔内）的整个频谱将映射唯一到 DFT 箱。（因此需要抗混叠滤波器在对模拟信号进行采样之前选择这样的间隔，否则我们将不知道我们真正查看的是哪个频率范围，或者是否有许多频率正在映射）。

对于真实信号，频谱是复共轭对称的（因此在这种情况下我们可以忽略一半的 DFT 箱，因为信息是冗余的）。

但是对于复杂的信号，正负频谱之间没有关系，所以频谱是唯一的。