如果有一种既好又通用的策略——总是有效的——它已经在每个非线性最小二乘程序中实施，并且起始值将不是问题。

对于许多特定问题或问题系列，存在一些很好的初始值方法；一些软件包带有针对特定非线性模型的良好起始值计算或更通用的方法，这些方法通常有效，但可能需要通过更具体的函数或直接输入起始值来帮助解决。

在某些情况下，探索这个空间是必要的，但我认为你的情况可能是这样的，更具体的策略可能是值得的——但设计一个好的策略几乎需要很多我们不太可能拥有的领域知识。

对于您的特定问题，可以设计可能的好策略，但这不是一个简单的过程；关于峰值的可能大小和范围的信息越多（典型的参数值和典型的会给出一些想法），就可以做更多的事情来设计一个好的起始值选择。$x$

和的典型范围是多少？平均结果是什么样的？有哪些不寻常的案例？您知道哪些参数值是可能的或不可能的？$y$$x$

一个例子——高斯部分是否一定会产生一个转折点（峰或谷）？或者它有时相对于线太小以至于它没有？总是积极的吗？等等$A$

如果可以的话，一些示例数据会有所帮助 - 典型案例和困难案例。

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编辑：这是一个例子，如果问题不是太嘈杂，你可以如何做得相当好：

这是从您的模型生成的一些数据（总体值为 A = 1.9947，B = 10，C = 2.828，D = 0.09，E = 5）：

我能够估计的起始值是
（As = 1.658，Bs = 10.001，Cs = 3.053，Ds = 0.0881，Es = 5.026）

该启动模型的拟合如下所示：

步骤是：

1. 拟合 Theil 回归以获得 D 和 E 的粗略估计
2. 减去 Theil 回归的拟合
3. 使用 LOESS 拟合平滑曲线
4. 找到峰值得到A的粗略估计，峰值对应的x值得到B的粗略估计
5. 将 y 值大于 A 估计值的 60% 的 LOESS 拟合作为观测值并拟合二次
6. 使用二次来更新 B 的估计并估计 C
7. 从原始数据中减去高斯的估计值
8. 将另一个 Theil 回归拟合到该调整后的数据以更新 D 和 E 的估计值

在这种情况下，这些值非常适合开始非线性拟合。

我把它写成R代码，但同样的事情可以在 MATLAB 中完成。

我认为比这更好的事情是可能的。

如果数据非常嘈杂，这根本不会奏效。

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Edit2：这是我在 R 中使用的代码，如果有人感兴趣的话：

gausslin.start <- function(x,y) {

  theilreg <- function(x,y){
    yy <- outer(y, y, "-")
    xx <- outer(x, x, "-")
    z  <- yy / xx
    slope     <- median(z[lower.tri(z)])
    intercept <- median(y - slope * x)
    cbind(intercept=intercept,slope=slope)
  }

  tr <- theilreg(x,y1)
  abline(tr,col=4)
  Ds = tr[2]
  Es = tr[1]
  yf  <- y1-Ds*x-Es
  yfl <- loess(yf~x,span=.5)

  # assumes there are enough points that the maximum there is 'close enough' to 
  #  the true maximum

  yflf   <- yfl$fitted    
  locmax <- yflf==max(yflf)
  Bs     <- x[locmax]
  As     <- yflf[locmax]

  qs     <- yflf>.6*As
  ys     <- yfl$fitted[qs]
  xs     <- x[qs]-Bs
  lf     <- lm(ys~xs+I(xs^2))
  bets   <- lf$coefficients
  Bso    <- Bs
  Bs     <-  Bso-bets[2]/bets[3]/2
  Cs     <- sqrt(-1/bets[3])
  ystart <- As*exp(-((x-Bs)/Cs)^2)+Ds*x+Es

  y1a <- y1-As*exp(-((x-Bs)/Cs)^2)
  tr  <- theilreg(x,y1a)
  Ds  <- tr[2]
  Es  <- tr[1]
  res <- data.frame(As=As, Bs=Bs, Cs=Cs, Ds=Ds, Es=Es)
  res
}

.

# population parameters: A = 1.9947 , B = 10, C = 2.828, D = 0.09, E = 5
# generate some data
set.seed(seed=3424921)
x  <- runif(50,1,30)
y  <- dnorm(x,10,2)*10+rnorm(50,0,.2)
y1 <- y+5+x*.09 # This is the data
xo <- order(x)

starts <- gausslin.start(x,y1)
ystart <- with(starts, As*exp(-((x-Bs)/Cs)^2)+Ds*x+Es)
plot(x,y1)
lines(x[xo],ystart[xo],col=2)

有一种通用的方法可以拟合这类非线性模型。它涉及使用因变量的值重新参数化线性参数，例如第一个、最后一个频率值和中间的一个好点，例如第 6 个点。然后您可以将这些参数固定并在最小化的第一阶段求解非线性参数，然后最小化总共 5 个参数。

Schnute 和我在 1982 年左右为鱼类拟合生长模型时发现了这一点。

http://www.nrcresearchpress.com/doi/abs/10.1139/f80-172

然而，没有必要阅读这篇论文。由于参数是线性的，因此只需建立和求解 3x3 线性方程组即可使用模型的稳定参数化。

对于您的模型，线性部分由矩阵确定$M$

$$M= \begin{pmatrix} \exp(-((x(1)-B)/C)^2)& x(1)& 1 \\ \exp(-((x(6)-B)/C)^2)& x(6)& 1 \\ \exp(-((x(n)-B)/C)^2)& x(n)& 1 \\ \end{pmatrix}$$ 在哪里$n=20$在这种情况下。1 代码是在 AD Model Builder 中编写的，现在是开源的。它进行自动微分并支持许多使非线性优化更容易的事情，例如不同参数保持固定的阶段。

DATA_SECTION
  init_int n
  int mid
 !! mid=6;
  init_matrix data(1,n,1,3)
  vector x(1,n)
  vector y(1,n)
 !! x=column(data,1);
 !! y=column(data,3);   //use column 3
PARAMETER_SECTION
  init_number L1(3)     //(3) means estimate in phase 3
  init_number Lmid(3)
  init_number Ln(3)

  vector L(1,3)
  init_number log_B       // estimate in phase 1
  init_number log_C(2)    // estimate in phase 2 
  matrix M(1,3,1,3);
  objective_function_value f
  sdreport_vector P(1,3)
  sdreport_number B
  sdreport_number C
  vector pred(1,n);
PROCEDURE_SECTION
  L(1)=L1;
  L(2)=Lmid;
  L(3)=Ln;
  B=exp(log_B);
  C=exp(log_C);
  M(1,1)=exp(-square((x(1)-B)/C));
  M(1,2)=x(1);
  M(1,3)=1;
  M(2,1)=exp(-square((x(mid)-B)/C));
  M(2,2)=x(mid);
  M(2,3)=1;
  M(3,1)=exp(-square((x(n)-B)/C));
  M(3,2)=x(n);
  M(3,3)=1;

  P=solve(M,L);  // solve for standard parameters 
                 // P is vector corresponding to A,D,E

  pred=P(1)*exp(-square((x-B)/C))+P(2)*x+P(3);
  if (current_phase()<4)
    f+=norm2(y-pred);
  else
    f+=0.5*n*log(norm2(y-pred))  //concentrated likelihood

该模型适合三个阶段。仅在阶段 1$B$估计。这里最重要的是$C$足够大，以便模型可以“看到”移动的位置$B$到。在第 2 阶段$B$和$C$ 估计。最后在第 3 阶段估计所有参数。在图中，绿线是第 1 阶段之后的拟合，蓝线是最终拟合。

对于您使用不良数据的情况，它很容易拟合，并且（通常的）参数估计是：

         estimate    std dev
A      2.0053e-01 5.8723e-02
D      1.6537e-02 4.7684e-03
E     -1.8197e-01 7.3355e-02
B      3.0609e+00 5.0197e-01
C      5.6154e+00 9.4564e-01]

如果您必须多次这样做，那么我建议您在 SSE 函数上使用进化算法作为前端来提供起始值。

另一方面，您可以使用 GEOGEBRA 使用滑块创建函数，并使用它们来获取起始值。

或者数据的起始值可以通过观察来估计。

1. D 和 E 来自数据的斜率和截距（忽略高斯）
2. A 是高斯最大值与 Dx+E 线估计的垂直距离。
3. B是高斯最大值的x值
4. C 是高斯表观宽度的一半

对于起始值，您可以进行普通的最小二乘拟合。它的斜率和截距将是 D 和 E 的起始值。最大残差将是 A 的起始值。最大残差的位置将是 B 的起始值。也许其他人可以建议 sigma 的起始值。

然而，在没有从主题知识中推导出任何类型的机械方程的情况下，非线性最小二乘法是有风险的，并且进行大量单独的拟合会使事情变得更加可疑。您提出的方程式背后是否有任何主题知识？是否还有其他独立变量与 100 个左右的单独拟合之间的差异有关？如果您可以将这些差异合并到一个可以同时拟合所有数据的方程中，这可能会有所帮助。