在均值为零的情况下（B 部分）可以获得精确解。

问题

让表示 iid变量，每个变量都有共同的 pdf：$(X_1, \dots, X_n)$$n$$N(0,\sigma^2)$$f(x)$

我们寻求的 pdf ，对于$\prod_{i=1}^n X_i$$n = 2, 3, \dots$

解决方案

两个这样的法线乘积的 pdf 很简单：

...我在哪里使用 mathStatica包中的TransformProduct函数Mathematica。支持的领域是：

3、4、5 和 6 法线的乘积是通过迭代应用相同的函数（此处为四次）获得的：

... 其中MeijerG表示Meijer G 函数

iid随机变量的乘积的 pdf为：$n$$N(0,\sigma^2)$

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$$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$$

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快速蒙特卡罗检查

这是一个快速检查比较：

• 刚刚获得的理论 pdf（当和时）：RED DASHED 曲线$n = 6$$\sigma=3$
• 到经验蒙特卡洛 pdf：波浪形蓝色曲线

看起来不错！[蓝色波浪状的蒙特曲线掩盖了确切的红色虚线曲线]