由于的后验和先验方差满足（表示样本） 假设所有数量都存在，您可以预期后验方差平均较小（在中）。当中的后验方差为常数时，情况尤其如此。但是，如另一个答案所示，后验方差的实现可能更大，因为结果仅在预期中成立。$\theta$$X$

$$\text{var}(\theta) = \mathbb{E}[\text{var}(\theta|X)]+\text{var}(\mathbb{E}[\theta|X])$$ $X$$X$

引用 Andrew Gelman 的话，

我们在贝叶斯数据分析的第 2 章中考虑了这一点，我认为这是一些家庭作业问题。简短的回答是，在预期中，后验方差会随着您获得更多信息而减小，但是，根据模型，在特定情况下方差会增加。对于一些模型，例如正态和二项式，后验方差只能减小。但是考虑具有低自由度的 t 模型（可以解释为具有共同均值和不同方差的法线的混合）。如果你观察到一个极值，那就证明方差很高，而且你的后验方差确实会上升。

这对@Xi'an 来说更像是一个问题，而不是一个答案。

我要回答后验方差 其中为试验次数，为成功次数，为 beta 先验系数，超过先验方差 在基于以下示例的二项式模型中也是可能的，其中似然性和先验形成鲜明对比，因此后验“介于两者之间太远”。这似乎与格尔曼的引述相矛盾。

$$V(\theta|y)=\frac{\alpha_{1}\beta_1}{(\alpha_{1}+\beta_1)^2(\alpha_{1}+\beta_1+1)}=\frac{(\alpha _{0}+k)(n-k+\beta_{0})}{(\alpha_{0}+n+\beta_0)^2(\alpha_{0}+n+\beta_0+1)},$$ $n$$k$$\alpha_{0},\beta_0$ $$V(\theta)=\frac{\alpha_{0}\beta_0}{(\alpha_{0}+\beta_0)^2(\alpha_{0}+\beta_0+1)}$$

n <- 10         
k <- 1
alpha0 <- 100
beta0 <- 20

theta <- seq(0.01,0.99,by=0.005)
likelihood <- theta^k*(1-theta)^(n-k) 
prior <- function(theta,alpha0,beta0) return(dbeta(theta,alpha0,beta0))
posterior <- dbeta(theta,alpha0+k,beta0+n-k)

plot(theta,likelihood,type="l",ylab="density",col="lightblue",lwd=2)

likelihood_scaled <- dbeta(theta,k+1,n-k+1)
plot(theta,likelihood_scaled,type="l",ylim=c(0,max(c(likelihood_scaled,posterior,prior(theta,alpha0,beta0)))),ylab="density",col="lightblue",lwd=2)
lines(theta,prior(theta,alpha0,beta0),lty=2,col="gold",lwd=2)
lines(theta,posterior,lty=3,col="darkgreen",lwd=2)
legend("top",c("Likelihood","Prior","Posterior"),lty=c(1,2,3),lwd=2,col=c("lightblue","gold","darkgreen"))

 > (postvariance <- (alpha0+k)*(n-k+beta0)/((alpha0+n+beta0)^2*(alpha0+n+beta0+1)))
[1] 0.001323005
> (priorvariance <- (alpha0*beta0)/((alpha0+beta0)^2*(alpha0+beta0+1)))
[1] 0.001147842

因此，这个例子表明二项式模型中有较大的后验方差。

当然，这不是预期的后验方差。这就是差异所在吗？

对应的图是