，即使是一个简单的最小二乘三次拟合到值似乎也足够了。$\log(\Phi(x))$$x$

只是为了快速了解它，我在 -5 和 0 之间每隔 0.01 生成值，并尝试将最小二乘三次和五次（5 次）多项式拟合到。我想你可以像我一样轻松地做到这一点，所以我不会强调这一点。$x$$\log_2(\Phi(x))$

对于五次方的最大绝对误差，它出现在零处。$\log_2(\Phi(x))$$5.2\times 10^{-4}$

[不完全清楚你所说的“在 0.2 + 10% 左右”是什么意思。如果您可以详细说明以明确您的标准，那么我可以详细说明这一点，并可能调整权重以更好地优化您的标准。]

在评估多项式时，如果速度很重要，您应该牢记霍纳的方法。

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正如红衣主教所建议的那样，情节非常具有说明性。既然我已经生成了一个，我应该把它放在这里：

这是（有符号的）错误（日志中的绝对比例错误）：

它看起来和我们期望的最小二乘拟合一样。不合身度相当适中；出于许多目的，这很好。

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另一种方法是您可以将上尾的 Karagiannidis 和 Lioumpas 近似值（参见此处）翻转到下尾（通过替换为）并获取日志：$x$$-x$

$$Q(x)\approx\frac{\left( 1-e^{-1.4x}\right) e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x >0$$

所以我们得到

$$\ln(\Phi(x))\approx \ln(1-e^{1.4x})-\ln(-x) -\frac{x^2}{2} - 1.04557$$

要获得以 2 为底的日志，只需将结果乘以$\log_2(e)$

这不如我提到的五次拟合准确，并且由于对数和求幂，评估可能更慢。不过，它又好又短，有一些优点。请注意，它不是为对数刻度设计的。

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原始论文有 K&L 的公式 6：

$$\frac{(1-e^{-Ax}) e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi}x}\approx\text{erfc}(x)$$

对于值，他们建议和。$x$$A=1.98$$B=1.135$

将除以以获得，这表明维基百科页面上的公式（）$x$$\sqrt{2}$$Q$$1.98/\sqrt{2}\approx 1.40007$

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让我们看看对数尺度的近似质量。

紫色虚线是 K&L 近似值。现在让我们看看错误：

错误的大小比我们的五次要大得多。它在范围左半部分的中几乎是线性的这一事实或来改善误差 - 但这会使接近值的近似值更差 - 1. 是否会这样做取决于所需的特征。$x$$0.02x$$0.025x$

这是神经网络用户的替代解决方案：

1 / (1 + 2*exp(-sqrt(2*pi)*x))您可以使用（扩展此近似）来近似 CDF 。

并利用大多数深度学习框架具有log(1 + exp(x))作为softplus激活函数的数值稳定实现这一事实。

得到的公式可以写成两行pytorch：

def log_standard_normal_cdf(x):
    return -F.softplus(np.log(2) - x*np.sqrt(2*np.pi))

为了覆盖比最初要求的范围更广，我最终想出了这个有理近似值

$$\ln(\Phi(x<0)) \approx -\frac{1}{2}x^2 -4.8 + 2509\frac{x-13}{(x-40)^2(x-5)}$$

它的绝对误差在 0.04 到 20 个标准偏差下，之后误差可能会超过该值，但仍低于该值的 0.04%（据我可以通过数值计算验证）。

我最近遇到了同样的问题，并找到了我认为更好的解决方案。Faddeeva包有一组用于计算 erf(z)、erfc(z) 等的精确函数。它们都从计算 Faddeeva 函数 w(z) 开始：

$$\begin{equation} w(z) = e^{-z^2} \text{erfc}(-iz) \end{equation}$$

您可以显示正常 cdf 的日志是

$$\begin{eqnarray} \log\Phi(z) &= \log\left[ \frac{1}{2}\left( 1 + \text{erf}\left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right) \right] \\ &= \log\left(\frac{1}{2}\right) + \log\left[ 1 + \text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] \\ &= \log\left(\frac{1}{2}\right) + \log\left[e^{-z^2} w\left(\frac{-iz}{\sqrt{2}}\right) \right] \\ &= \log\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{z^2}{2} + \log\left[ w\left(\frac{-iz}{\sqrt{2}}\right) \right] \end{eqnarray}$$

所以现在我们可以计算三个表现良好的简单量，并得到对于非常小的 z 也表现良好。我验证了你得到的值与它有效的域 的常规值完全相同。$\log\Phi(z)$normcdf

对于非常小的 z，我不知道“正确”的答案，但是对于 z=-100，你会得到 -5005.5242，它通常只会给你 -inf。这种方法的优点是使用现有的包来进行棘手的计算，因此您不必自己制作近似值，而且速度很快。

在 python 中，w可以作为. $w(z)$scipy.special.wofz