机器算法验证 - 两个变量的总和是否独立于第三个变量，如果它们是独立的？ - 吾爱随笔录

两个变量的总和是否独立于第三个变量，如果它们是独立的？

机器算法验证独立

2022-03-28 23:33:18

给定 3 个随机变量 $X_1$、$X_2$ 和 $Y$。$Y$ 和 $X_1$ 是独立的。$Y$ 和 $X_2$ 是独立的。直觉上我会假设 $Y$ 和 $X_1+X_2$ 是独立的。是这样吗，我怎样才能正式证明呢？ $X_1$ , $X_2$ and $Y$ . $Y$ and $X_1$ are independent. $Y$ and $X_2$ are independent. Intuitively I would assume that $Y$ and $X_1+X_2$ are independent. Is this the case, and how can I prove it formally?

2个回答

编辑：正如其他用户所指出的，这个答案是不正确的，因为它假设独立于 $Y$ $(X_1,X_2)$

注意是的函数，因为如果你取你会得到 . $X_1 + X_2$ $Z = (X_1,X_2)$

f (x, y) = x + y

$f(x,y) = x+y$

X_{1} + X_{2} = f (Z)

$X_1 + X_2 = f(Z)$

一个众所周知的概率定理是，如果和是独立的随机变量并且和是可测函数，那么独立于 (Theorem “概率：研究生课程”第 2 版，Allan Gut 的第 10.4 节）。 $R_1$ $R_2$ $f_1$ $f_2$ $f_1(R_1)$ $f_2(R_2)$

由于是可测量的并且 Y 独立于我们知道也独立于。请注意，我们将作为恒等函数并且。 $f$ $Z$ $Y$ $f(Z) = X_1 + X_2$ $f_1$ $f_2 = f$

（为了完成这个线程，我将 user233740 的评论提升为答案。）

该说法不属实。

可能不独立于的可能性强烈地让人想起熟悉的教科书问题，即关于成对独立但不独立的考虑到这一点，让我们考虑最简单的示例，即随机均匀地选择该矩阵的其中一行： $X_1+X_2$ $Y$ $(X_1,X_2,Y)$

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

$\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&1\\0&1&1}.$

您可以看到任意两列确定独立的 Bernoulli变量，但三列并不独立，因为第三列可以从其他两列确定。 $(1/2)$

然后让我们选择其中两列，分别表示它们和，并让成为第三个。观察当要么是要么（概率相等），但是当因此条件概率函数不是常数，证明和不是独立的。 $X_1$ $X_2,$ $Y$ $Y=0,$ $X_1+X_2$ $0$ $2$ $Y=1,$ $X_1+X_2=1.$

Pr (X_{1} + X_{2} ∣ Y)

$\Pr(X_1+X_2\mid Y)$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

Y

$Y$

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