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期望值和算术平均值是完全相同的东西。中位数与均值的关系非常重要，但您可以对它们的关系说几句：

• 当分布对称时，均值和中位数相同

• 当分布呈负偏态时，中位数通常大于均值

• 当分布呈正偏态时，中位数通常小于均值

对数正态分布随机变量的谐波、几何和算术平均值之间存在很好的关系。分布参数与不同均值的关系如下：$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$（谐波平均值），
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (几何平均数),
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$（算术平均值）。

使用这些恒等式，不难看出谐波和算术平均值的乘积产生几何平均值的平方，即

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

由于所有值都是正数，我们可以取平方根，发现的几何平均数是的调和平均数和的算术平均数$X$$X$$X$的几何平均数，即

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

此外，众所周知的 HM-GM-AM 不等式

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

可以精确地表示为

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

其中是几何方差。$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

为了完整起见，还有一些分布的平均值没有很好地定义。一个经典的例子是柯西分布（这个答案很好地解释了为什么）。另一个重要的例子是指数小于 2的帕累托分布。

虽然数学平均值和期望值的定义相同是正确的，但对于偏态分布，这种命名约定会产生误导。

想象一下，您正在向一位朋友询问她所在城市的房价，因为您真的很喜欢那里，并且真的考虑搬到那个城市。

如果房屋奖励的分布是单峰且对称的，那么您的朋友可以告诉您房屋的平均价格，并且实际上您可以期望在市场上找到大多数围绕该均值的房屋。

但是，如果房价的分布是单峰的并且是偏斜的，例如右偏，大多数处于较低价格范围内的房子在左边，而只有一些高价的房子在右边，那么平均值将“偏斜”到高价正确的。

对于这种单峰、倾斜的房价分布，您可以预期市场上的大多数房屋都在中位数附近。