机器算法验证 - 的平均绝对偏差是否小于标准偏差？n≥3 _ _n≥3 - 吾爱随笔录

的平均绝对偏差是否小于标准偏差？n≥3 _ _n≥3

机器算法验证意思是标准差平均绝对偏差

2022-03-24 12:35:45

在一般情况下，我想用这个定义比较平均绝对偏差和标准偏差：

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

其中。 $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

每个是真的吗？ $MAD \le SD$ $\{x_i\}^n_1$

是错误的，因为x，对于每个。 $n=2$ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ $x, y \ge 0$

很容易证明：

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

2个回答

不，一般来说这不是真的。

一个简单的观察方法是模拟。我通常会拼凑出一个无限循环，如果找到反例就会停止。如果它运行了很长时间，我开始考虑这个说法是否正确。在本例中，我的 R 代码如下所示：

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

它产生了这个反例：

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

这是一种更数学的方法。首先，通过变量的变化，可以假设平均值为零，这可能是真的。当然，从寻找反例的角度来看，这是可以接受的。因此，设置，将提议的不等式的两边平方并乘以 (n-1) 剩下的就是提议的不等式 - $\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

这看起来很腥。(n-1) 不足以弥补所有条款。特别是如果所有的绝对值都相同。我的第一个猜测是 n=4 和。这导致。我认为这类事情对于对不平等感兴趣的人来说是众所周知的。 $|x_i| |x_j|$ $x_i$ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

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