为了使评论线程不会爆炸，我正在收集我对完全基本证明的提示（您可以做得比这更短，但希望这使每个步骤都直观）。我已经删除了我的大部分评论（不幸的是，这让评论看起来有点脱节）。

1. 让$Y=X-np$. 笔记$E(Y)=0$. 显示$\text{Var}(Y)=npq$. 如果你已经知道$\text{Var}(X)$，你可以说$\text{Var}(Y)$，因为移动一个常数对方差没有任何影响。

2. 让$Z=|Y|$. 写一个明显的不等式$\text{Var}(Z)$， 扩张$\text{Var}(Z)$并使用之前的结果。[你可能想稍微把它重新组织成一个清晰的证明，但我试图激励如何得出一个证明，而不仅仅是最终的证明。]

这里的所有都是它的。它是 3 或 4 行简单的行，使用的只是方差和期望的基本属性（二项式进入它的唯一方法是给出特定形式$E(X)$和$\text{Var}(X)$- 你可以证明平均偏差总是$\leq \sigma$同样容易）。

[或者，如果你熟悉 Jensen 不等式，你可以稍微简单一点。]

--

现在已经过去了一段时间，我将概述有关如何处理它的更多细节：

让$Z=|X-nq|$. 然后$\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$， 和$E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$...

请注意，方差必须为正。结果如下。