这是一个开始。

让是您正在考虑的球的半径。$r = d/2$

首先，阅读随机游走：http ://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk 。假设您只有一个机器人，并假设您的随机游走是在二维晶格上。对于小，这很容易用矩阵乘法计算。您知道格子中只有个可能的点，您可以在步后踩到或着陆。令为个顶点邻接矩阵。令为除第个点的向量。假设第一行（和列）的$t$$n = 1 + 4t + 2t(t-1)$$t$$A_t$$n \times n$$n$$e_{i,t} \in \{0,1\}^n$$0$$1$$i$$A_t$对应于原点。步之后你在顶点（其中素数表示转置，并且是的次方）。我很确定你应该能够明确地解决这个问题。范数中的原点距离相同的所有事物都应该具有相同的密度。$i$$t$$e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$$A^t = A \times A \cdots \times A$$A$$t$$\cal L_1$

热身之后，让我们继续讨论您最初的问题。在步之后，您只需要考虑在原点周围半径球内的有限图（其他地方后可达的$t$$r(t+1)$$0$$t$脚步）。尝试制作该图的邻接矩阵并以与格情况相同的方式使用它 - 我不知道如何做到这一点，但我想那里有一些马尔可夫理论可以帮助你。您可以利用我们的一件事，即您知道这种分布必须围绕原点对称，特别是密度只是与原点的距离的函数。这应该会让事情变得更容易，所以你需要考虑的是步之后你与原点一旦你解决了这个问题，步后。请注意，将是$q$$t$$(x,y)$$t$$f_t(x,y)$$f_t$$r$. 令是从该分布中抽样的随机变量。$X$

现在您还需要考虑从多个机器人开始。假设多个机器人被允许在同一个顶点，这并不比一个机器人的情况更难。机器人可以在圆周上均匀开始，称在这个圆周上均匀采样的随机变量。将有一个泊松数的机器人开始，让是从这个泊松分布中采样的随机变量。因此，您从多个机器人获得的密度只是。$U$$M$$MU + X$

我认为这是解决方案的一个合理开始，除了我没有完全定义的分布。祝你好运，问题很巧妙。$X$