机器算法验证 - 证明方差总是大于或等于零 - 吾爱随笔录 - 问答

证明方差总是大于或等于零

机器算法验证数理统计方差不等式复数

2022-03-25 01:49:18

众所周知：

V a r (X) \geq 0

$\begin{equation}\label{3} Var(X) \geq 0 \end{equation}$ 对于每个随机变量

X

$X$ . 尽管如此，我不记得看到过正式的证明。

上面的不等式有证据吗？如果我们包括复数领域，这是否会导致上述不等式错误的可能性？

2个回答

转到您对方差的定义：

Var (X) = \int (x - μ)^{2} f (x) d x

$\operatorname{Var}(X) = \int(x-\mu)^2f(x)\,dx$

这 $(x-\mu)^2$ 分量是非负的，并且 $f(x)$ 分量是非负的，所以被积函数， $(x-\mu)^2f(x)$ 是非负的。

当您积分始终位于 x 轴或上方的被积函数时，该曲线下的面积将是非负的。

如果将方差写为总和（对于离散变量），这可能更容易看出：

Var (X) = \sum_{i} p (x_{i}) (x_{i} - μ)^{2}

$\operatorname{Var}(X) = \sum_i p(x_i)(x_i -\mu)^2$

像之前一样， $p(x_i)\ge 0$ 对全部 $x_i$ ，和 $(x_i - \mu)^2\ge 0$ 对全部 $x_i$ ，所以这是非负值的总和。

至于您关于复数的问题，方差被定义为绝对值或模数的期望值与平均值的偏差的平方。如果不取绝对值，则称为“伪方差”。

见https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_random_variable#Variance_and_pseudo-variance

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