骰子不出现的概率$n$是$1-1/n$. 不出现的概率$n$在任何一个$n$骰子是$(1-1/n)^n$. 如果你减去这个$1$，这将是至少一个的概率$n$投掷时出现$n$骰子，即

$$p=1-(1-1/n)^n\rightarrow 1-e^{-1}$$ 作为$n$去$\infty.$

事件$A:=$“至少有一个骰子出现在一边$n$"是事件的补充$B:=$“所有骰子都出现在非$n$边”。

所以$P(A)=1-P(B)$. 什么是$P(B)$?

所有骰子都是独立的，所以

$$P(\text{all $n$ dice turn up on non-$n$ sides}) = P(\text{a single die turns up non-$n$})^n = \bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^n.$$

所以

$$P(A) = 1-\bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^n.$$

信任但要验证。我喜欢在 R 中这样做：

> nn <- 6
> n_sims <- 1e5
> sum(replicate(n_sims,any(sample(1:nn,nn,replace=TRUE)==nn)))/n_sims
[1] 0.66355
> 1-((nn-1)/nn)^nn
[1] 0.665102

看起来挺好的。试试这个与其他值nn。这是一个情节：

nn <- 2:100
plot(nn,1-((nn-1)/nn)^nn,type="o",pch=19,ylim=c(1-1/exp(1),1))
abline(h=1-1/exp(1),col="red")

我们注意到我们在极限中的概率是多少

$$P(A) = 1-\bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^n =1-\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n \to 1-\frac{1}{e}\approx 0.6321206 \quad\text{as }n\to\infty,$$

因为身份涉及$e$.

@StephanKolassa (+1) 和 @gunes (+1) 的回答都很好。但是这个问题可以参考二项分布和泊松分布来解决，如下所示：

如果$X_n$n是看到的 s的数量$n$公平的卷$n$面死，然后$X_n \sim \mathsf{Binom}(n, 1/n),$以便$P(X_n \ge 1) = 1 - P(X_n = 0)= 1-(1-1/n)^n.$

作为$n\rightarrow\infty,$一个有$X_n \stackrel{prob}{\rightarrow} Y \sim\mathsf{Pois}(\lambda=1),$和$P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - e^{-1}.$

也可以通过纯粹计算所描述的事件来得出答案，尽管接受的答案更优雅。我们将考虑模具的情况，希望概括是显而易见的。我们将让事件空间是所有来自的数字序列$\{1,2,...,6\}$长度$6$. 以下是一些示例（随机选择）：

3 2 3 5 6 1
1 1 2 5 2 4
1 2 1 1 6 3
4 4 3 3 4 2
6 1 1 6 3 4
6 3 5 4 5 1

关键是，我们的空间共有$6^6$事件，并且由于独立性，我们假设其中任何一个与另一个一样可能（均匀分布）。我们需要计算有多少序列至少有一个$6$在他们中。我们将我们计算的空间划分为多少$6$的出现，所以考虑恰好一个$6$出现。有多少种可能的方式会发生这种情况？这六个可能出现在任何位置（6 个不同的位置），当它出现时，其他 5 个位置可以有 5 个不同符号中的任何一个（从$\{1,2,...,5\}$）。那么正好为 1 的序列的总数$6$是：。同样对于恰好有两个的情况：我们得到正好有这样的序列。现在是玩 sums的时候了：$\binom{6}{1}5^5$$6$$\binom{6}{2}5^4$

$$\sum_{k=1}^6 \binom{6}{k}5^{6-k} = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k}5^{6-k}1^k - 5^6 = (5+1)^6 - 5^6$$

为了从这个计数中获得概率，我们除以事件总数：

$$\frac{6^6 - 5^6}{6^6} = 1 - (5/6)^6 = 1 - (1-1/6)^6$$

我认为这可以很好地概括，因为对于以外，完全相同的论点都成立，只需将每次出现的替换为，替换为。$n$$6$$6$$n$$5$$n-1$

还值得注意的是，这个数字是没有的序列的贡献，并且更容易计算（如已接受的答案中所用）。$5^6 = \binom{6}{0}5^6$$6$