从某种意义上说，MGF 只是将一组矩编码为一个方便的函数的一种方式，您可以使用该函数做一些有用的事情。

变量与随机变量没有任何关系。您可以轻松地编写或 ...它本质上是一种虚拟变量。除了作为 mgf 的论点之外，它不代表任何东西。$t$$X$$M_X(s)$$M_X(u)$

Herbert Wilf [1] 调用生成函数：

一根晾衣绳，我们在上面挂着一系列数字以供展示

将它们挂在哪条晾衣绳上真的无关紧要。另一个也可以。

有没有办法从任何地方派生函数？

将一组矩转换为生成函数的方法不止一种（例如，离散分布具有概率生成函数、矩生成函数、累积生成函数和特征函数，您可以恢复矩（在某些情况下更少）直接比其他人）来自他们中的任何一个。

所以没有一种独特的方法可以将一组时刻编码为一个函数。关于如何设置它是一个选择问题。虽然它们相似（并且自然相关），但有些对于特定类型的任务更方便。

我在 mgf 和拉普拉斯变换以及 cf 和傅里叶变换之间看到了某种类比。

不仅仅是一个类比，至少如果我们考虑双边拉普拉斯变换（我在这里仍将其表示为）。我们看到是（至少直到符号变化）实际上是一个拉普拉斯变换（实际上，考虑，所以它是翻转变量的双边拉普拉斯变换）。一个人可以很容易地从一个转换到另一个，并且非常高兴地在 mgfs 上使用拉普拉斯变换的结果（而且，就此而言，拉普拉斯变换表，如果我们牢记这个符号问题）。类似地，特征函数不仅类似于傅里叶变换，它们是$\mathcal{L}$$M_X(t) = \mathcal{L}_X(-t)$$\mathcal{L}_X(-t) =\mathcal{L}_{-X}(t)$傅里叶变换（同样，直到参数的符号，除了交换参数的符号对函数的明显影响之外没有任何影响）。

如果傅立叶变换和拉普拉斯变换帮助您了解 mgfs 和 cfs “是”什么，您当然应该利用这些直觉，但另一方面，在操作这些东西时并不总是需要直觉。

事实上，在使用 cfs 时，因为它们始终存在并且是独一无二的，我经常倾向于将它们视为只是通过不同的视角看待的分布。

我可以看到，取函数的导数并在 t=0 处进行评估给出了时刻（如果积分绝对收敛），但为什么呢？

因为我们选择使用的特定生成函数（mgf）被设置为以这种方式工作。为了能够再次从函数中提取矩集，您需要类似的东西——一种消除所有低阶矩（例如微分）并消除所有高阶矩（例如将参数设置为 0）的方法这样您就可以准确地挑选出您需要的那个。为此，您已经需要一些类似于mgf 的东西。同时，如果它有一些其他可以利用的属性（就像我们对随机变量使用的各种生成函数所做的那样），那就太好了，这样可以进一步限制我们的选择集。

[1] Wilf, H. (1994) generatefunctionology
, 2nd ed
Academic Press Inc., San Diego
https://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html