您是对的，mgf 在入门课程中似乎有些缺乏动力。所以，一些使用的例子。首先，在离散概率问题中我们经常使用概率生成函数，但这只是 mgf 的不同包装，请参阅矩生成函数和概率生成函数有什么区别？. pgf 可用于解决一些可能难以解决的概率问题，对于此站点上的最近示例，请参阅两个连续头部所需的试验次数的 PMF 或 伽马分布的总和，是泊松分布$N$$N$. 一些不那么明显的应用程序仍然可以在介绍性课程中使用，在 期望变量的倒数中给出， 当遵循 Beta 分布时的期望值$1/x$$x$ 和 对于独立的 RVs，确实暗示 ? $X_1,X_2,X_3$$X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$$X_2\stackrel{d}{=}X_3$.

另一种用途是构造概率分布的近似，一个例子是鞍点近似，它以 mgf 的自然对数为起点，称为累积量生成函数。请参阅鞍点近似如何工作？ 对于一些示例，请参见Bound for weighted sum of Poisson random variables 和 Generic sum of Gamma random variables

Mgf 也可以用来证明极限定理，例如二项分布的泊松极限直观地理解为什么泊松分布是二项分布的极限情况 可以通过 mgf 证明。

可以在此处找到精算使用 mgf 的一些示例（带有解决方案的练习集）： https ://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf 使用“矩生成函数精算”搜索互联网将给出很多类似的例子。精算师似乎正在使用 mgf 来解决一些其他难以解决的问题（例如在保费计算中出现的问题）。第 21 页第 3.5 节和有关精算风险理论的书籍中的一个示例。此类应用的（估计）mgf 的一个来源可能是经验 mgf（奇怪的是，我在这里甚至找不到一篇关于经验矩生成函数的帖子）。

是否有任何现实生活中的分布示例难以通过分析找到期望和方差，因此需要使用 mgf？

有许多问题很难使用标准公式作为质量/密度的总和/积分来找到均值和方差。一个很难但并非不可能的例子是优惠券收集者的分布，它具有概率质量函数：

$$\mathbb{P}(T=t) = \frac{m!}{m^t} \cdot S(t-1, m-1) \quad \quad \quad \text{for all integers } t \geqslant m,$$

其中函数表示第二类斯特林数。如果你在这里尝试使用标准方法，你最终会得到一个涉及斯特林数的递归公式，这很麻烦。获得均值和方差的一种更简单的方法是推导出不再包含斯特林数的累积量生成函数（矩生成函数的对数）。然后获得分布的累积量相对简单。我建议你通过这两种方法尝试这个练习，看看我的意思。$S$