机器算法验证 - 矩生成函数和特征函数之间的联系 - 吾爱随笔录

我试图理解矩生成函数和特征函数之间的联系。矩生成函数定义为：

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

使用的级数展开，我可以找到随机变量分布的所有矩X。 $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

特征函数定义为：

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

我不完全理解虚数给了我更多的信息。我看到，因此我们在特征函数中不仅有，但是为什么我们需要在特征函数中减去矩呢？数学思想是什么？ $i$ $i^2 = -1$ $+$