让我以相反的顺序回答：

2. 是的。如果它们的 MGF 存在，它们将是相同的*。

例如，请参见此处和此处

事实上，它来自您在帖子中给出的结果。如果 MGF 唯一地**确定分布，并且两个分布具有 MGF 并且它们具有相同的分布，则它们必须具有相同的 MGF（否则您将有一个反例来说明“MGF 唯一地确定分布”）。

* 对于“相同”的某些值，由于“几乎无处不在”这句话

** '几乎无处不在'

1. 不——因为存在反例。

Kendall 和 Stuart 列出了一个连续分布族（可能最初是由于 Stieltjes 或那个年代的某个人，但我的回忆不清楚，已经有几十年了），它们具有相同的矩序列但又不同。

Romano 和 Siegel 的书（概率与统计中的反例）在第 3.14 节和第 3.15 节（第 48-49 页）中列出了反例。（实际上，看着他们，我想他们都在肯德尔和斯图尔特。）

Romano, JP 和 Siegel, AF (1986)，
概率和统计中的反例。
博卡拉顿：查普曼和霍尔/CRC。

他们将 3.15 归功于 Feller, 1971, p227

第二个例子涉及密度族

$$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$$

密度不同为$\alpha$变化，但矩序列是相同的。

时刻序列相同涉及分裂$f$进入零件

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

然后显示第二部分对每个矩的贡献为 0，因此它们都与第一部分的矩相同。

这是两个密度的样子。蓝色是左极限的情况（$\alpha=0$)，绿色是这样的$\alpha=0.5$. 右侧的图是相同的，但轴上有对数刻度。

更好的是，也许，采用更大的范围并在 x 轴上使用四根刻度，使蓝色曲线笔直，绿色曲线在其上方和下方像正弦曲线一样移动，如下所示：

蓝色曲线上方和下方的摆动——无论幅度更大或更小——结果使所有正整数矩保持不变。

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请注意，这也意味着我们可以通过选择得到一个奇数矩为零但不对称的分布$X_1,X_2$与不同$\alpha$并采取 50-50 的混合$X_1$， 和$-X_2$. 结果必须取消所有奇数时刻，但两半不一样。