我已经很久没有上物理课了，所以如果有任何不正确的地方，请告诉我。

用物理类比对矩的一般描述

取一个随机变量。在周围的第个矩是： 这正好对应于一个矩的物理意义。想象为沿实线的点集合，密度由 pdf 给出。处放置一个支点，并开始计算相对于该支点的矩，计算将与统计矩完全对应。$X$$n$$X$$c$

$$m_n(c)=E[(X-c)^n]$$ $X$$c$

大多数时候个矩是指 0 附近的时刻（支点位于 0 的时刻）： 第个中心矩是： 这对应于支点位于质心的时刻，因此分布是平衡的。正如我们将在下面看到的那样，它可以更容易地解释时刻。第一个中心矩总是为零，因为分布是平衡的。$n$$X$

$$m_n=E[X^n]$$ $n$$X$ $$\hat m_n=m_n(m_1) =E[(X-m_1)^n]$$

的第个标准化矩是： 同样，这通过分布的传播来缩放矩，从而更容易解释峰度。第一个标准化时刻将始终为零，第二个标准化时刻将始终为 1。这对应于变量的标准得分（z-score）的时刻。对于这个概念，我没有很好的物理模拟。$n$$X$

$$\tilde m_n = \dfrac{\hat m_n}{\left(\sqrt{\hat m_2}\right)^n}=\dfrac{E[(X-m_1)^n]} {\left(\sqrt{E[(X-m_1)^2]}\right)^n}$$

常用时刻

对于任何分布，都可能存在无限数量的矩。足够的矩几乎总是会完全表征和分布（得出确定这一点的必要条件是矩问题的一部分）。统计中经常谈论四个时刻：

1. 平均值- 第一个时刻（以零为中心）。它是分布的质心，或者它与分布相对于支点为 0 的力矩的力矩成正比。
2. 方差- 第二个中心矩。解释为表示的分布展开的程度。它对应于在其支点上平衡的分布的转动惯量。$X$
3. 偏度- 第三个中心矩（有时是标准化的）。衡量分布在一个方向或另一个方向上的偏斜度。相对于正态分布（没有偏斜），正偏态分布极低结果的概率很低，负偏态分布极低结果的概率很小。物理类比是困难的，但它松散地测量分布的不对称性。例如，下图取自维基百科。
4. 峰度- 第 4 个标准化矩，通常是过度峰度，第 4 个标准化矩减去三。峰度测量相对于尾部将更多概率置于分布中心的程度。较高的峰度意味着与平均值的较大偏差的频率较低，而较小的偏差则较频繁。它通常相对于正态分布进行解释，正态分布的第 4 个标准化矩为 3，因此过度峰度为 0。这里的物理模拟更加困难，但在下图中，取自 Wikipedia，峰值较高的分布有更大的峰度。 $X$

我们很少谈论超出峰度的时刻，正是因为对它们几乎没有直觉。这类似于物理学家在第二个时刻后停止。

这是一个有点老的线程，但我希望纠正 Fg Nu 在评论中的错误陈述，他写道“矩由自然数参数化，并完全表征分布”。

矩不能完全表征分布。具体来说，所有无限数量的矩的知识，即使它们存在，也不一定唯一地确定分布。

根据我最喜欢的概率书 Feller“概率论及其应用简介第二卷”（请参阅​​我在常见分布的真实示例中的回答），第 227-228 页的第 VII.3 节示例，未确定对数正态由它的矩来表示，这意味着还有其他分布具有与对数正态相同的无限数量的矩，但分布函数不同。众所周知，对数正态不存在矩生成函数，对于具有相同矩的其他分布也不存在。

如第 4 页所述。228，一个本质上非零的随机变量由它的矩决定，如果它们都存在并且$X$

$$\sum_{n=1}^{\infty} (\mathbb{E}[X^{2n}])^{-1/(2n)}$$

分歧。请注意，这不是当且仅当。此条件不适用于对数正态，实际上它不是由它的矩决定的。

另一方面，共享所有无限数量的矩的分布（随机变量）只能相差这么多，因为可以从它们的矩中推导出不等式。

Glen_b 评论的一个推论是，第一个矩，平均值，对应于一个物理对象的重心，而围绕平均值的第二个矩，方差，对应于它的惯性矩。在那之后，你就靠自己了。

二叉树有两个分支，每个分支的概率为 0.5。实际上，p=0.5，q=1-0.5=0.5。这会生成具有均匀分布概率质量的正态分布。

实际上，我们必须假设树中的每一层都是完整的。当我们将数据分成箱时，我们会从除法中得到一个实数，但我们会四舍五入。嗯，这是一个不完整的层，所以我们最终不会得到一个接近正常值的直方图。

将分支概率更改为 p=0.9999 和 q=0.0001，这让我们得到一个偏斜的法线。概率质量发生了变化。这解释了偏度。

具有小于 2^n 的不完整层或箱会生成具有没有概率质量的区域的二项式树。这给了我们峰度。

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回复评论：

当我谈论确定箱的数量时，四舍五入到下一个整数。

Quincunx 机器掉落的球最终通过二项式近似于正态分布。这样的机器做了几个假设：1）箱的数量是有限的，2）底层树是二叉的，3）概率是固定的。纽约数学博物馆的 Quincunx 机器让用户可以动态改变概率。概率可以随时改变，甚至在当前层完成之前。因此，关于垃圾箱未装满的想法。

与我在原始答案中所说的不同，当你在树中有一个空洞时，分布表现出峰度。

我从生成系统的角度来看这个。我用一个三角形来总结决策树。当做出新的决定时，会在三角形的底部添加更多的 bin，就分布而言，在尾部添加更多的 bin。从树中修剪子树会在分布的概率质量中留下空白。

我只是回复给你一个直观的感觉。标签？我使用了 Excel 并使用了二项式中的概率并生成了预期的偏差。我没有对峰度这样做，在使用暗示运动的语言时，我们被迫将概率质量视为静态的，这无济于事。基础数据或球会导致峰态。然后，我们对其进行各种分析，并将其归因于形状描述性术语，如中心、肩部和尾部。我们唯一需要处理的是垃圾箱。即使数据不能，垃圾箱也过着动态​​的生活。