考虑第一种情况，三分之二是正确的：在您的朋友纯粹在猜测的零假设下，正确的数字是$X \sim \mathsf{Binom}(n=3, p=1/5).$对原假设的检验$p > 1/5$拒绝大值$X.$所以结果的 P 值$X = 2$是 $P(X \ge 2) = 0.104 > 0.05 = 5\%$你不会拒绝$5\%$等级。证据并不要求你相信你的朋友可以通过味道识别颜色。[在 R 中进行以下计算，但使用二项式 PDF 将两项相加并不困难。 注意：如果你的朋友三个都猜对了，那么仅仅通过猜测的概率是$(1/5)^3 = 0.008$你应该被说服。]

sum(dbinom(2:3, 3, 1/5))
[1] 0.104

但是，如果您的朋友在 100 次中得到 40 次正确，则空分布为$X \sim \mathsf{Binom}(n=100, p=1/5)$ P值是$P(X \ge 40) \approx 0.$因此，如果没有通过味道来判断颜色的能力，这种结果将是非常罕见的。你应该相信你的朋友有一些能力。

sum(dbinom(40:100, 40, 1/5))
[1] 1.099512e-28

通过正态近似$\mathsf{Binom}(n=100, p=1/5),$ 你有$\mu = E(X) = np = 20,\;$ $\sigma^2 =Var(X) = 16,\;$ $\sigma = SD(X) = 4.$然后

$$P(X \ge 40) = P(X>39.5)\\ = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{39.5-20}{4} = 4.875\right)\\ \approx P(Z > 4.875) \approx 0,$$ 在哪里$Z$具有标准正态分布。

1 - pnorm(4.875)
[1] 5.440423e-07

在下图中，P 值是垂直虚线右侧的条形高度的（非常小的）总和。红色曲线显示了近似正态分布的密度函数。