如果您所拥有的只是成对独立，那么就有一个反例。假设以下四种情况都有概率：$\frac14$

A B C  AB

0 0 0  0 

0 1 1  0 

1 0 1  0 

1 1 0  1

那么独立于，独立于，独立于。 $A$$C$$B$$C$$A$$B$

但是和不是独立的，因为$AB$$C$$\mathbb P(AB=1\mid C=0)=\frac12\not= 0=\mathbb P(AB=1 \mid C=1)$

在这个例子，和如问题所建议的那样成对独立，但不是相互独立的。如果它们相互独立，那么也将独立于。稍微弱一点的条件是，如果和共同独立于，那么即使和不相互也将独立于$A$$B$$C$$AB$$C$$A$$B$$C$$AB$$C$$A$$B$