机器算法验证 - 余弦核可以理解为Beta分布的一个案例吗？ - 吾爱随笔录

机器算法验证分布内核平滑贝塔分布

2022-03-11 13:26:34

正如 Wand 和 Jones (1995) 所指出的，大多数标准内核可以看作是

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

族，其中 $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ 是一个 Beta 函数。的不同值 $p$ 导致矩形 ( $p=0$ )、Epanechnikov ( $p=1$ )、biweight ( $p=2$ ) 和 triweight ( $p=3$ ) 内核。

density可以余弦内核（如R的函数中所理解的），

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

也被认为是这个家庭的一员？如果是这样，它的合适的 $p$ 值是多少？在做了一些模拟之后，我猜 $\approx 2.35$ 非常接近，但是（如何）在没有模拟的情况下找到合适的？如果不是，是否可以使用 beta 分布进行近似？

Wand, MP 和 Jones, MC (1995)。 内核平滑。 查普曼和霍尔，伦敦。

1个回答

余弦内核不是 beta 发行版。

请注意，以下情况均适用于标准余弦密度：

但是 (-1,1) 上的任何 beta 密度都不会同时具有所有这些属性。

对称 beta 核密度可以写为：

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

例如，第一个条件意味着 a3.38175 p )。第二个意味着为 1 ( )。 $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

然而，a 的值选择的 (3.38175) 给出的密度非常接近余弦。 $a$ $a$

[这非常接近您的（因为）；该区域的一系列值给出了与余弦相似的密度。] $p=2.35$ $p=a-1$

最小的密度绝对偏差发生在 ——并不是说最小化绝对偏差会使属性最相似。 $p\approx 2.3575$

这是余弦和贝塔（）： $p=2.3575$

尽管它们不一样，但它们的形状非常相似。

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