关于在没有样本定义的情况下如何理解问题的一些广泛讨论。

由于引用的关系适用于分布，如果您将 ecdf 视为分布的 cdf，并应用您提供的那些总体定义，则该关系必须仍然成立。也就是说，如果你使用$n$样本定义中所有平均值的分母（包括计算$\hat{\sigma}^2$)，因此它们是该分布的预期值，关系应该是您所说的。

因此，通过将您的中心样本时刻都定义为$m_k=\frac{1}{n}\sum_i (x_i-\bar{x})^k$，您必须得到与您引用的结果相同的结果；不需要额外的代数。

如果您随后想要使用不同的定义，通过将新定义编写为刚刚提到的旧定义的函数（拉出任何非$n$分母），然后你应该能够推导出你所寻求的关系（它仍然应该渐近地去你提到的关系）

因此，例如，如果您在此处使用示例定义：

$g_2 = \frac{m_4}{m_2^2}-3\,$,

和偏度的等价物，

$g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}}\,$,

建立人口关系的证明仍然适用。

相反，如果您在此处使用样本偏度的定义（请注意，这会使您对方差估计的定义不一致！），那么您可以简单地写

$b_1 = g_1 \frac{m_2^{3/2}}{s^3} = g_1 (\frac{n-1}{n})^{3/2}$

然后使用您引用的关系推导出$g_2$和$b_1$. 等等其他定义（你可能想尝试一下$G_1$例如，在关于偏度的维基百科文章中提到）。

此处提供了有关样本偏度和峰度限制的讨论。作者适当引用了原始证明，引用的结果是：

$$|g_1| \le \frac{n-2}{\sqrt{n-1}} = \sqrt{n-1} - \frac{1}{\sqrt{n-1}}$$ $$b_2 = g_2 + 3 \le \frac{n^2-3n+3}{n-1} = n -2 + \frac1{n-1}$$ 因此对于$n=10$，您不能有大于 2.89 的偏度和大于 5.11 的过度峰度。