听起来您可能没有正确计算可能性。

当你只知道一个值时$x$

1. 它独立于分布和$F_\theta$

2. 它位于和之间（其中和独立于），$a$$b \gt a$$b$$a$$x$

那么（根据定义）它的可能性是 因此，一组独立观察的可能性是这些表达式的乘积，每个观察一个。像往常一样，对数似然将是这些表达式的对数之和。

例如，这是一个R实现，其中的值在 vector的值在 vector中，并且是对数正态。（这不是一个通用的解决方案；特别是，它假设和用于所有数据。）$a$left$b$right$F_\theta$$b \gt a$$b \ne a$

#
# Lognormal log-likelihood for interval data.
#
lambda <- function(mu, sigma, left, right) {
  sum(log(pnorm(log(right), mu, sigma) - pnorm(log(left), mu, sigma)))
}

和对数标准差的起始值。此估计值用其端点的几何平均值替换每个区间：$\mu$$\sigma$

#
# Create an initial estimate of lognormal parameters for interval data.
#
lambda.init <- function(left, right) {
  mid <- log(left * right)/2
  c(mean(mid), sd(mid))
}

让我们生成一些随机对数正态分布的数据并将它们分成区间：

set.seed(17)
n <- 12                     # Number of data
z <- exp(rnorm(n, 6, .5))   # Mean = 6, SD = 0.5
left <- 100 * floor(z/100)  # Bin into multiples of 100
right <- left + 100

拟合可以由通用多变量优化器执行。（默认情况下这是一个最小化器，因此它必须应用于对数似然的负值。）

fit <- optim(lambda.init(left,right), 
             fn=function(theta) -lambda(theta[1], theta[2], left, right))
fit$par

6.1188785 0.3957045

的估计值为的预期值相差不远的估计值为的预期值相差不远值来说还不错。为了看看拟合有多好，让我们绘制经验累积分布函数和拟合分布函数。为了构建 ECDF，我只是通过每个间隔线性插值：$\mu$$6.12$$6$$\sigma$$0.40$$0.5$$12$

#
# ECDF of the data.
#
F <- function(x) (1 + mean((abs(x - left) - abs(x - right)) / (right - left)))/2

y <- sapply(x <- seq(min(left) * 0.8, max(right) / 0.8, 1), F)
plot(x, y, type="l", lwd=2, lty=2, ylab="Cumulative probability")
curve(pnorm(log(x), fit$par[1], fit$par[2]), from=min(x), to=max(x), col="Red", lwd=2, 
  add=TRUE)

因为垂直偏差一直很小并且上下变化，所以看起来很合适。