非正式地，独立性意味着知道一个随机变量的值不会为您提供关于另一个随机变量的额外信息

但是如果，那么知道告诉你。同时知道告诉你可以取值高达。所以的可能值的分布，因此它们不是独立的。指标函数有这个作用，因为它不能分成部分和部分$0 \lt X+Y \lt 1$$X=\frac34$$Y < \frac14$$X=\frac13$$Y$$\frac23$$X$$Y$$X$$Y$

独立的必要（非充分）条件是应该被分解为类似的因素。为此，应该像一样被分解，但作者说没有办法做到这一点，主要是因为行。$f(x,y)$$g(x)h(y)$$I(x,y)$$I_A(x)I_B(y)$$0<x+y<1$

假设，其中 ,（它是，因为在 )。因此，和应该不为零，例如，但为零。$I(x,y)=I_A(x)I_B(y)$$A=(0,1)$$B=(0,1)$$(0,1)$$x,y$$(0,1)$$I_A(x)$$I_B(y)$$x=0.3,y=0.8$$I(x,y)$

检测随机变量的非独立性的一个充分测试是眼球测试（在我的这个答案中简要描述了 stats.SE 和更详细的答案在 math.SE 上）它说如果联合密度的支持是不是边平行于坐标轴的矩形，则随机变量是相关的。在这里，的支持是一个三角形，因此我们可以断言随机变量是依赖的，而不需要费力地计算和，然后检查$f_{X,Y}(x,y)$$f_X(x)$$f_Y(y)$$f_{X,Y}(x,y)$等于所有实数和，正如独立性定义所说（或应该说）。f_ )对于某些实数和可以表示为（就像在本例中所做的那样）不足以声明独立性。$f_X(x)f_Y(y)$$x$$y$$f_{X,Y}(x,y)$$g(x)h(y)$$x$$y$

我不知道这是否使它更容易理解，但考虑一个等于$x^2y^3$什么时候$x<y$和$0$否则。现在考虑函数$x^2y^3 (|y-x|+y-x)/(2y-2x)$. 如果你画出第二个函数，你会发现它和第一个函数是一样的。它的形式更复杂，但它是封闭的形式，而不是有条件的定义。

虽然第一个函数似乎考虑了因素，但第二个函数没有。如果你想排除$y^3$, 你还有$(|y-x|+y-x)/(2y-2x)$来处理。