以无分布的方式研究估计$p$

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016771520000242X

（可以在同一页面上找到 pdf）。作者专注于基于 ECDF 反演的分位数估计器。没有对基础分布进行假设（有限二阶矩除外），因此也包括离散分布。

一些亮点：

• 偏差与基础分布成正比$\sigma$

• 中心分位数的偏差比极端分位数小。的所有分布中，偏差在长度为的区间内振荡。引人注目的是，这不取决于样本大小。$\sigma < \infty$$\frac{\sigma}{\sqrt{p (1-p)}}$$n$

• 对于，在所有标准化分布（均值 0，标准差 1）中，最差偏差与具有处的概率原子 p 和概率原子的分布在。$np>3$$p$$-\sqrt{(1-p)/p}$$1-p$$\sqrt{p/(1-p)}$

只是补充一下这个旧帖子，ECDF 仅在高样本量时是无偏的。在 N 的低值时，它是有偏差的。以 N=1 的普通情况为例，ECDF 在样本值及以上取值 1。问问自己给出概率为 1 的基础分布的值是多少？

偏差实际上超过了 sqrt(2*pi)/(2N)*SD 或 1.25/N * SD，因此对于 5 的 N，这是 0.25 SD 偏差。

代替基于 k/N 的 ECDF，尝试 (k-0.5)/N 以获得无偏的 ECDF。这可能会给你无偏的样本分位数。它还确保了所有其他累积分布所享有的 ECDF(x)=1-ECDF(-x)。

在我看来，定义和使用的 ECDF 是一个巨大的误称。它使 Kolmogorov Smirnov、Lilliefors 和其他标准测试偏向低 N。

查看 Gilchrist “使用分位数函数进行统计建模”

存在一个唯一的真实样本分位数定义（这不是通常提出的定义）。见：http ://dx.doi.org/10.1155/2014/326579