机器算法验证 - 点积的方差和期望 - 吾爱随笔录

我想知道是什么 $E[\textbf{a}\cdot \textbf{b}]$ 和 $var[\textbf{a}\cdot \textbf{b}]$ 在哪里 $\textbf{a}, \textbf{b}$ 是独立的随机向量。那是一个向量，其元素是随机变量。向量中有 n 个元素。向量中的每个元素都假定为均值为 0 且方差为正态分布的随机样本 $\sigma^{2}=1/n$ . 和 $\cdot$ 表示点积。

我在某处读到

\begin{aligned} E (\tilde{a} \cdot \tilde{b}) & = E (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}) \\ = n E (X Y) = 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} E(\tilde{\textbf{a}}\cdot \tilde{\textbf{b}})&=E(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i})\\ &= n E(XY)= 0 \end{aligned} \end{equation}$

\begin{aligned} v a r (\tilde{a} \cdot \tilde{b}) & = v a r (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}) \\ = n v a r (X Y) \\ = \frac{1}{n} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} var(\tilde{\textbf{a}}\cdot \tilde{\textbf{b}})&=var(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i})\\ &=n~var(XY) \\ &=\dfrac{1}{n} \end{aligned} \end{equation}$

我们怎么说 $var(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}) =n~var(XY)$ 或者 $E(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}) =n~E(XY)$ . 有人对此有想法吗？