机器算法验证 - Cox离散时间回归模型题 - 吾爱随笔录

Cox 1972 年的出版物Regression Models and Life Tables将逻辑回归与离散时间比例风险模型的扩展联系起来。我不明白出版物中的公式（21）是如何得出的。

令为离散随机变量，其取值概率为 $T$ $t_1 < t_2 < ...$

f (t_{j}) = P r {T = t_{j}}

$f(t_j) = Pr\{T = t_j\}$

在离散情况下，危险是概率而不是比率，

λ (t_{j}) = P r {T = t_{j} | T \geq t_{j}} = \frac{P r {T = t_{j}, T \geq t_{j}}}{P r {T \geq t_{j}}} = \frac{f (t_{j})}{S (t_{j})}

$\lambda(t_j) = Pr\{T = t_j | T \geq t_j \} = \frac{Pr\{T = t_j , T \geq t_j \}}{Pr\{T \geq t_j \}} = \frac{f(t_j)}{S(t_j)}$

即，在离散时间中，危险只是事件在时间发生的概率，假设事件直到但不包括才发生。 $t_j$ $t_j$

根据比例风险模型，我们在时间对 $\mathbf{x}$ $t_j$

λ (t_{j}, x) = λ_{0} (t_{j}) e x p {\sum_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}}

$\lambda(t_j, \mathbf{x}) = \lambda_0(t_j)exp\{\sum_{i=1}^n\beta_ix_i\}$

由于在离散时间中，危险是一种概率，我们可能有兴趣查看赔率：

\frac{λ (t_{j}, x)}{1 - λ (t_{j}, x)} = \frac{λ_{0} (t_{j})}{1 - λ_{0} (t_{j})} e x p {\sum_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}}

$\frac{\lambda(t_j, \mathbf{x})}{1 - \lambda(t_j, \mathbf{x})} = \frac{\lambda_0(t_j)}{1 - \lambda_0(t_j)}exp\{\sum_{i=1}^n\beta_ix_i\}$

我不明白上述等式的右手边是如何推导出来的。

非常感谢您的帮助！