机器算法验证 - 从正态分布中得出的配对 Elo 匹配分布 - 吾爱随笔录

从正态分布中得出的配对 Elo 匹配分布

机器算法验证分布正态分布模拟游戏埃洛

2022-04-03 15:45:54

有没有一种很好的方式（封闭形式）来表示分布 $Z$ 这是由于进行了两次独立的正常平局 $X_1, X_2 \sim N(0,1)$ 并使用确定结果 $Y \sim U(0,1)$ 如下：

Z = {\begin{cases} X_{1} if Y \leq \frac{1}{1 + e^{X_{2} - X_{1}}} \\ X_{2} otherwise \end{cases}

$Z = \begin{cases} X_1\ \ \mbox{if } Y\le\frac{1}{1 + e^{X_2 - X_1}} \\ X_2 \ \ \mbox{otherwise} \end{cases}$ 也就是说，我们从技能的正态分布中选择两名球员，并使用 Elo 模型在他们之间进行的比赛中取胜。如果我们可以迭代解决方案以确定进行后剩下的玩家，那就太好了

n

$n$ 几轮淘汰赛。使用逻辑以外的 sigmoid 类型函数来确定除正常以外的获胜概率和技能分布是很好的，如果这会使这个问题更容易处理的话。

2个回答

看着 MGF $Z$

\begin{aligned} E [e^{t Z}] & = E [E [e^{t Z} | X_{1}, X_{2}]] \\ = E [e^{t X_{1}} \frac{e^{X_{1}}}{e^{X_{1}} + e^{X_{2}}} + e^{t X_{2}} \frac{e^{X_{2}}}{e^{X_{2}} + e^{X_{1}}}] \\ = E [e^{t X_{1}} \frac{e^{X_{1}}}{e^{X_{1}} + e^{X_{2}}}] + E [e^{t X_{2}} \frac{e^{X_{2}}}{e^{X_{2}} + e^{X_{1}}}] \\ = 2 E [e^{t X_{1}} \frac{e^{X_{1}}}{e^{X_{1}} + e^{X_{2}}}] \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb E[e^{tZ}] &= \mathbb E[\mathbb E[e^{tZ}|X_1,X_2]]\\ &= \mathbb E\left[e^{tX_1} \frac{e^{X_1}}{e^{X_1}+e^{X_2}} + e^{tX_2} \frac{e^{X_2}}{e^{X_2}+e^{X_1}}\right]\\ &= \mathbb E\left[e^{tX_1} \frac{e^{X_1}}{e^{X_1}+e^{X_2}}\right] + \mathbb E\left[e^{tX_2} \frac{e^{X_2}}{e^{X_2}+e^{X_1}}\right]\\ &=2 \mathbb E\left[e^{tX_1} \frac{e^{X_1}}{e^{X_1}+e^{X_2}}\right] \end{align*}$ 这不是正常的 MGF。

证明将不得不等待，但一些模拟表明获胜者的 Elo 分数分布是正常的：

这是R代码：

N <- 1e7
set.seed(7*11*13)
X1 <- rnorm(N); X2 <- rnorm(N)
Y <- runif(N)
Z <- ifelse(Y<= 1/(1+exp(X2-X1)), X1, X2) 

 (mu <-mean(Z))
[1] 0.363302
 (sigma <- sd(Z))
[1] 0.9316078

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