机器算法验证 - 如果变量( X) < ∞Var(X)<∞，是变量( X是) < ∞Var(XY)<∞为了0≤Y _ _≤ 10≤Y≤1? - 吾爱随笔录 - 问答

如果变量( X) < ∞Var(X)<∞，是变量( X是) < ∞Var(XY)<∞为了0≤Y _ _≤ 10≤Y≤1?

机器算法验证数理统计方差界限

2022-03-26 05:52:42

我有一个变量 $X$ 我知道有有限的方差（因此也是有限的均值）。在按比例缩放后，它的方差仍然是有限的吗？ $0 \le Y \le 1$ ?

注意 $X$ 和 $Y$ 不一定是独立的。

编辑：我相信“最坏的情况” $Y$ 是 $0$ 每当 $X < c$ 和 $1$ 每当 $X \ge c$ ，对于一些 $c$ （和镜像案例）？

2个回答

我不接受 kjetil 的回答，因为正如评论中指出的那样，它假设 $X$ 和 $Y$ 是独立的。

以下答案应该在 $X$ 和 $Y$ 是依赖的，通过使用 whuber 的建议：

\begin{aligned} Var (X Y) & = E ((X Y)^{2}) - E (X Y)^{2} \\ \leq E (X^{2} Y^{2}) \\ \leq E (X^{2}) sup (Y^{2}) \\ = E (X^{2}) \\ = Var (X) + E (X)^{2} \\ < \infty \end{aligned}

$\begin{align} \text{Var}(XY) &= E((XY)^2) - E(XY)^2 \\ &\le E(X^2Y^2) \\ &\le E(X^2)\sup(Y^2) \\ &= E(X^2) \\ &= \text{Var}(X) + E(X)^2 \\ &< \infty \end{align}$

请注意，结果也适用于任何有界 $Y$ （自从 $\sup(Y^2)$ 将是有限的）。

你需要使用公式

V (X Y) = E (V (X Y | Y)) + V (E (X Y | Y))

$\DeclareMathOperator{\Var}{\mathbb{V}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \Var (XY) = \E (\Var (XY | Y)) + \Var (\E (XY | Y))$ 在哪里

V

$\Var$ 是方差算子。一个学期一个学期，写

μ = E X, σ^{2} = V X

$\mu=\E X, \sigma^2=\Var X$ ,

E (X Y | Y = y) = E (y X) = y E (X) = μ y

$\E (XY | Y= y) = \E (yX) = y \E (X) =\mu y$ 有方差（超过

Y

$Y$ )

V (μ Y)

$\Var (\mu Y)$ 这是有限的，因为

Y

$Y$ 是有界的。

然后另一个术语， $\Var (XY | Y=y) = \Var (yX) = y^2 \Var (X) = \sigma^2 y^2$ 它再次具有有限的期望，因为 $Y$ 是有界的。所以答案是肯定的。

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