机器算法验证 - 我可以在线性模型中对标准偏差进行建模吗？ - 吾爱随笔录

机器算法验证方差广义线性模型

2022-03-30 11:05:37

是否可以将标准偏差或方差放入线性模型中，作为要解释的数据？我有一个预测器，我认为它会线性地增加测量的标准偏差，而正是这种可变性是令人感兴趣的。

对于每个条件，我计算了标准偏差，这样我就有了一个我想建模的标准偏差向量。然后我将其输入线性模型

std_k( y_ik ) =  X_ij * beta_j + error_ij

其中 X 类似于

我意识到标准偏差不是正态分布的，所以这不太正确。我可以转换变量以使误差项呈正态分布吗？或者我可以使用带有链接功能的“广义”线性模型吗？

（我实际上想将其输入到混合模型中，因为有几个受试者进行了实验。每个受试者都有不同的基线变异性，我想按条件查看受试者之间的变异性。我还需要比较受试者组. 混合模型似乎适合此目的）

2个回答

是的，你可以这样做。如果您认为种群是正常的，那么带有对数链接和伽马系列的 SD 的 GLM 是一种方法。

人们在一堆预测变量上回归 log SD 也并不少见。这是近似值，但所有模型都是。您可以在其中看到此操作的一个文本是 Box，Hunter 和 Hunter，Statistics For Experimenters（第 2 版），在第 12 章的直升机实验中。

这里的日志直观上是正确的，因为像 SD 之类的尺度参数是乘法效应，并且记录它们会使下摆相加——适用于线性模型。

听起来您本质上是在提出两阶段最小二乘法，其中第一阶段将每个集群减少到其关于集群特定平均值的标准偏差。这似乎很好，但请注意，您实际上可以在观察级别上建模，即让每个观察的方差是协变量的线性函数。请注意，我不知道有任何现成的软件可以做到这一点。

回到两阶段方法，如果集群 $i=1,...,N$ 是正态分布的，例如 $Z_i \sim N(\mu_i, \rho^2_i)$ 那么样本方差将是尺度卡方分布的 $N_i -1$ 自由程度。让 $S^2_i$ 表示聚类中的样本方差 $i$ ，然后

S_{i}^{2} \sim \frac{ρ_{i}^{2}}{N_{i} - 1} \times χ^{2} (N_{i} - 1) .

$S^2_i \sim \frac{\rho^2_i}{N_i-1} \times \chi^2(N_i-1).$

更详细地说，我们有

\begin{aligned} E S_{i}^{2} & = ρ_{i}^{2}, \\ V a r S_{i}^{2} & = 2 \frac{ρ_{i}^{4}}{N_{i} - 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} E S^2_i & = \rho^2_i, \\ Var S^2_i & = 2\frac{\rho_i^4}{N_i - 1}. \end{align*}$

伽马 GLM 假设 $Var Y = \phi (E Y)^2$ ，所以这实际上可能是伽马回归的一个案例，带有身份链接！（这对我来说是第一次，我想。）如果 $N_i$ 差异很大，那么您需要精确的权重 $1/(N_i-1)$ .

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