机器算法验证 - 正态分布的 pdf 除以 n 上的对数正态的平方根是多少？ - 吾爱随笔录

正态分布的 pdf 除以 n 上的对数正态的平方根是多少？

机器算法验证正态分布密度函数对数正态分布 t分布

2022-04-06 18:39:51

我们知道如果 ,和是独立分布的，那么变量遵循自由度为分布。现在我想知道，如果是像并且独立于的对数正态分布，那么？ $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ $W \sim \chi^2(n)$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ $t$ $n$ $X$ $X \sim \log\mathcal{N}(a,b)$ $Z$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{X/n}}$

我知道有这个答案，但它显示了的pdf 。任何人都可以在此基础上回答我的问题。谢谢！ $Y = \frac{Z}{X}$

1个回答

我们可以操纵来帮助我们。重写为 $Y$ $Y$

Y = \frac{n^{1 / 2} Z}{X^{1 / 2}}

$Y = \frac{n^{1/2}Z}{X^{1/2}}$ 因为那么 .

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim N(0,1)$

n^{1 / 2} Z \sim N (0, n)

$n^{1/2}Z \sim N(0, n)$

现在我们知道。根据对数正态的定义，我们有。使用标准对数定律，我们有因此。 $X \sim \log N(a, b)$ $\log(X) \sim N(a, b)$ $\log(X^{1/2}) = \frac{1}{2} \log(X)$ $\log(X^{1/2}) \sim N(\frac{a}{2}, \frac{b}{4})$

所以根据对数法线的定义，我们有。 $\sqrt{X} \sim \log N(\frac{a}{2}, \frac{b}{4})$

因此，因为实际上可以表示为 Normal RV 和 log-Normal RV 的比率，您可以使用上述的表示简单地应用来自引用问题的结果。 $Y$ $Y$

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