我会问相反的问题：零协方差对任何幸存的依赖有何影响？这两个变量当然可以随机依赖，即使它们的协方差为零，但是如果协方差为零，则排除了什么样的依赖关系，以及什么样的双变量联合分布？

一些例子：

a)多对多“命名”双变量连续联合分布（即两个边缘属于同一族的联合分布）。

b) Farlie-Gumbel-Morgenstern 族的二元连续分布

$$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right), \;\; \alpha <1$$

和的两个随机变量。这里对于零协方差和随机独立性是必要且充分的。所以在这里你不能没有另一个。$F_X(x)$$G_y(y)$$\alpha =0$

c）最后必须记住，尽管协方差通常被描述为“反映两个变量之间的“线性”依赖关系”，但这可能会产生误导，因为当随机变量是另一个的纯非线性函数时，几乎总是它们的协方差将非零。考虑一个非常简单的情况，让$X$$Y$

$$X = Y^2 \implies \text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(Y^3) - E(Y^2)E(Y)$$

这通常不会为零。

等等。当然，确实存在用零协方差建模随机依赖的无限方法，但上面表明，如果一个人想这样做，“现成的”二元分布不会这样做，纯粹的假设也不会。非线性关系。

这就是为什么 Copulas 可能是要走的路，正如评论所建议的那样，因为从这个角度来看，它们允许我们以系统的方式对任何边际分布的依赖关系进行建模。这很重要，因为在查看数据时，我们可以更轻松地分别描述每个数据系列的分布，并且在这里调用我们著名和研究过的边际分布族的股票很方便（并且每个变量可能看起来都有属于不同家族的边缘人）。它们的联合分布可能是非标准的，因此尚未研究。然后我们看 Copulas 来描述依赖关系。