机器算法验证 - 使用重要性抽样和蒙特卡罗来估计总和 - 吾爱随笔录

机器算法验证模拟蒙特卡洛数值积分重要性抽样

2022-04-11 19:47:08

也许我的问题非常基本和愚蠢。我正在学习计算机科学。在一个问题中，我必须使用蒙特卡洛方法和重要性抽样来估计一大笔钱。我见过可能相同的蒙特卡洛积分，但我很困惑。

我所要做的就是找到一种方法来近似这个总和：

A = \sum_{c = 1}^{C} a (c),

$A =\sum_{c=1}^{C} a(c)\text{ ,}$ 其中 C 是一个非常大的数字。

在重要性抽样的情况下，我可以理解，给定一个分布 $q$ ,

A = \sum_{c = 1}^{C} \frac{a (c) q}{q} = E_{q} [\frac{a (c)}{q}]

$A =\sum_{c=1}^{C} \frac{a(c)q}{q} = E_q[\frac{a(c)}{q}]$ 然后我们将其近似为：

A \approx \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} \frac{a (s)}{q (s)}

$A \approx \frac{1}{S}\sum_{s=1}^{S}\frac{a(s)}{q(s) }$ 那是对的吗？我怎么能使用简单的蒙特卡洛？

1个回答

如前所述，您的问题并不完全有意义：如果您只对

A = \sum_{c = 1}^{C} a (c)

$\mathfrak{A} =\sum_{c=1}^{C} a(c)$ 而如果

C

$C$ 太大而无法完成计算，则表示

A

$\mathfrak{A}$ 作为一个期望

A = E [A (X)]

$\mathfrak{A}=\mathbb{E}[\mathscr{A}(X)]$ 可以是一种近似的方法

A

$\mathfrak{A}$ 通过蒙特卡洛近似：根据大数定律，生成样本

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\ldots,X_n$ 从与期望相关的分布

E [A (X)]

$\mathbb{E}[\mathscr{A}(X)]$ 导致收敛（在

n

$n$ ) 估计器

{\hat{A}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} A (X_{i})]

$\hat{\mathfrak{A}}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathscr{A}(X_i)]$ 蒙特卡洛近似的关键概念是所述分布几乎是任意的。一个幼稚的解决方案是看

A

$\mathfrak{A}$ 作为期望

C a (\cdot)

$C a(\cdot)$ 反对统一分布

{1, \dots, C}

$\{1,\ldots,C\}$ . 但几乎任何其他选择都是可以接受的，因为给定概率分布

q (\cdot)

$q(\cdot)$ 处处积极

{1, \dots, C}

$\{1,\ldots,C\}$ ，身份

A = E_{q} [A (X) / q (X)]

$\mathfrak{A}=\mathbb{E}_q[\mathscr{A}(X)/q(X)]$ 站立。这意味着从

q

$q$ ，即产生一个样本

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\ldots,X_n$ 分布于

q

$q$ , 近似值

{\hat{A}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} A (X_{i})] / q (X_{i})

$\hat{\mathfrak{A}}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathscr{A}(X_i)]/q(X_i)$ 也是一个收敛的（在

n

$n$ ) 估计器。的选择

q

$q$ 问题：越接近

q

$q$ 是

| a |

$|a|$ ，近似值越好。

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