假设是多元正态。$(X_1, X_2, X_3)^T$

什么是条件期望？$E(X_1 \mid X_2, I(X_3 > 0))$

这里，是随机变量，当时取值 1，否则取值为零。我知道，不使用正态分布的任何属性， $I(X_3>0)$$X_3 > 0$

$$E(X_1 \mid I(X_3>0)) = I(X_3 > 0)\frac{E[ X_1I(X_3 > 0)]}{P(X_3 > 0)}+ I(X_3 \leq 0)\frac{E[ X_1I(X_3 \leq 0)]}{P(X_3 \leq 0)}.$$

基于此，我很想推断，

$$E(X_1\mid X_2, I(X_3> 0)) = I(X_3 > 0)\frac{E[ X_1I(X_3 > 0) \mid X_2]}{P(X_3 > 0\mid X_2)} + I(X_3 \leq 0)\frac{E[ X_1I(X_3 \leq 0)\mid X_2]}{P(X_3 \leq 0 \mid X_2)},$$

但我无法证实或反驳这一点。如果这是真的，可以继续使用多元法线向量的条件分布的属性来获得更具体的表达式。