所以我一直试图理解考克斯定理和围绕它的问题。关于这个主题的信息太多了，以至于我对定理的确切状态感到困惑。我已经收集了三个主要问题，我会在前进的过程中提出我的问题。

我的主要参考资料是K. Van Horn，A Guide to Cox's Theorem，2003 年和A. Terenin & D. Draper，Rigorizing and Extending the Cox-Jaynes Derivation of Probability，2015 年。

• A 给定 B 的合理性总是可以用实数表示的假设。这假设命题之间具有普遍的可比性，有些​​人认为这是没有根据的。我知道 Jaynes （Probability Theory as Extended Logic，2003，附录 A）主张普遍可比性，尽管我不完全确定他的论点是否足够。

  这个假设的第二个问题是表示对命题的信念$(A|B)$作为一个实数，没有说明我们对$(A|B)$;$(\neg A|B)$. 这种反对意见经常在信念函数理论的背景下提出（我不太熟悉）（G. Shafer，A Mathematical Theory of Evidence，1976）。Cox 后来假设一个函数$S$存在使得$(\neg A|B) = S(A|B)$，这似乎表明我们可以用信念来表达怀疑。出于这个原因，我并不真正理解反对意见。

  接下来，提出了反对意见，即合理性的一维表示不能充分表示无知。Jaynes 似乎使用最大熵方法(Information Theory and Statistical Mechanics I & II, 1957)和先验变换组(Prior Transformations, 1968)来处理这个问题。从我收集到的信息来看，许多人认为这个解决方案还不够。有没有具体的反对意见？

  最后，范霍恩提到：

  二维理论的另一个动机是认为正确应用贝叶斯方法需要了解“真实”概率，这些概率被视为物理属性。这可能导致将不确定性表示为一组凸概率分布的理论[20]。杰恩斯将这种对“真实”物理概率的担忧视为“思维投射谬误”[21]的例子，但即使是杰恩斯的观点也承认某些信息状态在数学上等同于对某些“物理”的不确定性。 ''概率。贝叶斯通过推理各种物理概率值的概率来处理不确定的“物理”概率。这让我们回到了之前的关注，无知的表现，

  [20] : HE Kyburg，贝叶斯和非贝叶斯证据更新，1985

  [21] : ET Jaynes，概率论作为逻辑，1989

  我不完全确定为什么正确应用贝叶斯方法需要了解“真实”概率。这只是设计一个适当的先验的问题吗？

• Halpern （A Counterexample to Theorems of Cox and Fine, 1999; Revisiting Cox's Theorem, 1999）声称已经构建了 Cox's Theorem 的反例。斯诺（The Reasonableness of Possibility from the Perspective of Cox, 2001）不同意，说 Cox 隐含地做了一个否定反例的假设。Paris (The Uncertain Reasoner's Companion, 1994)似乎形式化了这个假设，但结果是 Cox-Jaynes 概率函数不能有有限域。

  Halpern 认为这是有问题的，因为假设一个无限的命题空间可能并不自然。斯诺和范霍恩对哈尔彭的反对各有各的论据。Van Horn (A Guide to Cox's Theorem, 2003, p.12-13)评论说，即使我们将自己限制在有限数量的命题上$(A|B)$，如果我们不将自己限制在该域的有限数量的信息状态中，仍然可以有无限数量的合理性值。Snow （关于有限域的 Cox 定理的正确性和合理性，1998 年，第 4 节）给出了需要无限域才能给出合理答案的情况的示例。

  Terenin & Draper (Rigorizing and Extending the Cox-Jaynes Derivation of Probability, 2015, p.8)声称 Van Horn 的方法难以正式评估，因为它缺乏严谨性。然而，他们确实指出：

  Jaynes (2003) 对描述世界的本体论信息表达（例如，“房间里有噪音”）和认识论信息表达（例如，“房间嘈杂”）进行了重要区分描述您关于世界的信息。假设有限数量的世界状态（本体论）并不矛盾，这在某些问题中肯定是正确的，并使用无数个命题来描述你对这些世界状态的不确定性（认识论）；后者是我们（和许多其他贝叶斯统计学家）的建模选择，并且非常有用。

  如果我正确地解释了一切，这似乎在精神上同意范霍恩。

  尽管 Jaynes (2003) 指出：

  值得注意的是，我们的一致性定理仅针对分配给有限命题集的概率建立。原则上，每个问题都必须从这样的有限集概率开始；仅当这是从有限集定义良好且行为良好的限制过程的结果时，才允许扩展到 [可数] 无限集。

  我不确定这是否与 Snow 相矛盾，但至少再次质疑无限域的自然性。

  S. Arnborg 和 G. Sjödin （有限模型中的贝叶斯规则，2000 年）表明，Paris 的假设对于证明该定理是不必要的。他们用较弱的假设代替了他的假设，并证明了有限域的 Cox 定理。然而，他们的方法不适用于无限域，考虑到斯诺声称域的无限是自然的，这似乎有些问题。

  最后，Terenin 和 Draper 声称将 Cox-Jaynes 形式化为不可数无限域（2015 年，第 7 页），尽管我不确定这是否意味着无限的命题，或者只是无限的合理性（在范霍恩的信息状态意义上， Jaynes 的认识论意义和/或 Snow 的合理结果意义）。

  简而言之，这里似乎存在很多分歧。可能是我误解了陈述，所以我希望有更多知识的人来确认。

• 最后，可数可加性似乎存在问题，只有 Terenin 和 Draper 提到了这一点。事实上，他们的大部分动机似乎是在 Cox-Jaynes 方法中添加可数可加性。我不太明白为什么需要可数可加性（尽管我认为它可能与希望域是（不可）可数无限的，如前所述）。

总结一下：

1. 杰恩斯关于普遍可比性的论点是否足够？

2. 一维理论不说怀疑有什么问题？

3. 杰恩斯关于客观先验和代表无知的论点有什么问题？

4. 杰恩斯关于思维投射谬误的论点有什么问题？

5. 对于 Cox-Jaynes 方法中域的有限/（不可）可数无限性是否存在共识？

6. 如果不是，具体的问题是什么？

7. Cox-Jaynes 方法中的可数可加性如何处理？